Вероятность: смысл и основные свойства

Число относится к событию

Вероятность описывает шанс события в заданной модели. Значение $0$ — нижняя граница, $1$ — верхняя; $0{,}25$ и $25\%$ обозначают одно число. Сравнение $P(A)>P(B)$ означает, что в модели событие $A$ имеет больший шанс, а не обязательно произойдёт раньше.

В конечном пространстве каждому исходу назначают неотрицательный вес, а сумма всех весов равна единице. Вероятность события получается сложением весов его исходов. Для равновозможных исходов это даёт классическое отношение количества подходящих к общему количеству.

Строгое основание и следствия

В общем определении вероятность является мерой на выбранном семействе событий: она неотрицательна, нормирована и счётно аддитивна для попарно несовместимых событий. Школьное правило сложения — конечный частный случай этого свойства; формальная теория измеримости изучается отдельно.

Из свойств следует монотонность: если $A\subseteq B$, то $P(A)\le P(B)$. Также $P(\overline A)=1-P(A)$. Эти проверки часто обнаруживают ошибку раньше полного решения: вероятность пересечения не должна превосходить вероятность каждого события.

Что число не обещает

Вероятность $0{,}3$ не означает ровно три успеха в каждых десяти испытаниях. Наблюдённая доля — частота, и она случайно меняется. Вероятность описывает модель одного опыта; для переноса её на серию нужны условия о повторении и зависимости.

Нельзя назначить вероятности $0{,}7$ и $0{,}6$ двум единственным несовместимым исходам: сумма превышает единицу. Но два совместимых события могут иметь такие вероятности благодаря пересечению.

Три примера

1. Три исхода имеют веса $0{,}2$, $0{,}3$, $0{,}5$. Событие из первого и третьего получает вероятность $0{,}7$.
2. Если вероятность брака $0{,}04$, вероятность годности в двухисходной модели равна $0{,}96$.
3. Событие $A$ входит в $B$, и $P(B)=0{,}4$. Значение $P(A)=0{,}5$ невозможно: меньшему множеству приписан больший вес.