Вероятность по данным: статистическая оценка

Когда вероятность заранее неизвестна

Если механизм опыта не даёт готовой вероятности, её можно оценивать по наблюдениям. После $n$ испытаний с $m$ успехами относительная частота $\widehat p=m/n$ служит естественной оценкой постоянного шанса $p$.

Число $\widehat p$ вычислено из данных, а $p$ — параметр модели. Они не обязаны совпадать. Статистическое понимание вероятности связывает устойчивость частот с моделью повторений; оно не означает, что частота любой одной серии является точным определением истинного шанса.

Условия оценки

В схеме независимых одинаковых испытаний Бернулли математическое ожидание частоты равно $p$, а дисперсия $p(1-p)/n$. Поэтому увеличение объёма уменьшает типичный случайный разброс. Формальные свойства дисперсии здесь — углубление для поздних маршрутов, а первоначальная оценка доли доступна раньше.

Повторения должны относиться к одному событию и сопоставимым условиям. Если вероятность менялась, общая частота смешивает разные режимы. Если наблюдения выбирались предвзято, большая серия не устраняет смещение.

Нулевое число наблюдавшихся успехов не доказывает $p=0$. Аналогично сто успехов из ста не доказывают $p=1$. Оценка может быть на границе, пока о неопределённости ещё нужно судить по объёму и модели.

Как сообщать результат

Указывайте числитель, знаменатель и условия сбора: «$18$ из $60$» информативнее одной цифры $30\%$. Не приписывайте каждому дополнительному десятичному знаку статистическую достоверность. Интервальные методы требуют отдельного выбора уровня и метода, поэтому простая частота не объявляется доверительным интервалом.

Три примера

1. Из $200$ проверенных изделий $6$ дефектных: оценка доли $6/200=0{,}03$. Это оценка для представляемой данными совокупности.
2. В $10$ попытках ни одного успеха: $\widehat p=0$, но при истинном $p=0{,}1$ такой исход имеет вероятность $0{,}9^{10}>0$.
3. Две серии дали $4/10$ и $18/90$. Общая частота $22/100=0{,}22$, а не простое среднее $0{,}3$: размеры серий различны.