Полная группа событий

Каждый исход имеет свой случай

Полная группа событий — разбиение пространства на случаи, которые не пересекаются и вместе охватывают все исходы. При выполнении опыта происходит ровно один из случаев. Например, номер выпавшей грани кубика можно разделить на три группы: $\{1,2\}$, $\{3,4\}$, $\{5,6\}$.

Название «гипотезы» часто используется, когда случаи описывают источник наблюдения: изделие изготовлено первым, вторым или третьим станком. Это не означает, что требуется предположить независимость источников: в одном выборе как раз реализуется один источник.

Проверка двух условий

Отсутствие пересечений недостаточно: случай мог не попасть ни в одну группу. Покрытие пространства также недостаточно: один исход мог оказаться сразу в нескольких группах. Для корректного разбиения проверяют оба свойства отдельно.

В конечной модели с положительными весами сумма вероятностей один вместе с несовместимостью гарантирует полноту с точки зрения вероятности. В общей модели непокрытые события нулевой вероятности требуют различать строгое покрытие и покрытие почти наверное.

Для чего нужна группа

Событие $A$ раскладывается на несовместимые части $A\cap H_i$. Их вероятности можно сложить. Если $P(H_i)>0$, каждую часть представляют как $P(H_i)P(A\mid H_i)$. Так возникает формула полной вероятности, а затем формула Байеса.

Нулевые по вероятности части не требуют деления на ноль: их вклад в итог нулевой. При задании дерева нельзя назначать отдельной ветви условную вероятность относительно невозможного условия без пояснения.

Три примера

1. «Чётное» и «нечётное» для кубика образуют полную группу из двух событий с вероятностями $1/2$.
2. «Меньше трёх» и «больше трёх» не образуют полную группу: исход $3$ пропущен.
3. Три станка дают $20\%$, $30\%$ и $50\%$ продукции. При выборе одного изделия события происхождения образуют полную группу; суммы долей равны $1$, а источники не пересекаются.