Совместимые и несовместимые события
Проверяем, могут ли два условия выполниться в одном исходе, и отличаем это от независимости.
Перед чтением
Что вы разберёте в этой статье
Проверяем, могут ли два условия выполниться в одном исходе, и отличаем это от независимости.
Событие — это набор исходов, удовлетворяющих условию. Слова «и», «или» и «не» переводятся в пересечение, объединение и дополнение событий.
- совместимость
- несовместимость
- пересечение
- независимость
Под каждой формулой дана расшифровка величин и условий. Сначала определите, что известно, затем проверьте ограничения и только после этого подставляйте числа.
После теории решите три задачи: простую, среднюю и сложную. Подсказка, шаги решения и ответ открываются отдельно.
Раздел: События · школьная привязка: 8, 10 класс
Могут ли произойти вместе
Совместимые события имеют хотя бы один общий исход. Несовместимые имеют пустое пересечение: в одном выполнении опыта они не могут произойти оба. Для одного броска кубика «единица» и «двойка» несовместимы, а «чётное» и «больше трёх» совместимы благодаря исходам и .
Сначала нужно определить общий опыт. «Единица на первом кубике» и «двойка на втором» могут произойти вместе. Те же слова о разных шагах не имеют той же несовместимости, что о единственном броске.
Не путайте с независимостью
Независимость описывается вероятностями, а несовместимость — отсутствием общих исходов. Если два несовместимых события имеют положительные вероятности, они зависимы: наступление одного исключает другое. Приписывать им произведение вероятностей как вероятность пересечения было бы ошибкой.
Нулевая вероятность пересечения не всегда доказывает его пустоту в бесконечной модели. Например, две области могут соприкасаться границей нулевой площади. В конечных равновозможных школьных моделях каждый исход положительной вероятности, и этот нюанс не возникает.
Несколько событий
Семейство попарно несовместимо, если пересечение пусто у каждой пары различных событий. Пустое пересечение всех трёх сразу слабее: попарные пересечения при этом могут существовать. Для прямого сложения вероятностей группы нужно именно попарное отсутствие пересечений.
Два несовместимых события не обязательно противоположны. Чтобы быть противоположными, они должны ещё охватывать всё пространство. Для кубика единица и двойка не покрывают четыре оставшиеся грани.
Три примера
- События «нечётное» и «чётное» на одном кубике несовместимы и вместе достоверны.
- «Меньше трёх» и «больше четырёх» несовместимы, но их объединение не включает и .
- Для , , тройное пересечение пусто, но каждая пара пересекается. Складывать три вероятности без поправок нельзя.
Формула, смысл и ограничения
Главные формулы с расшифровкой
Формула словами: У несовместимых событий нет общего исхода.
Как применять: Сначала переведите условие на язык событий, затем отметьте совместность или несовместность и только после этого выберите правило.
Формула словами: Для несовместимых событий вероятности складываются без поправки на пересечение.
Как применять: Сначала переведите условие на язык событий, затем отметьте совместность или несовместность и только после этого выберите правило.
От формулы к наблюдению
Попробуйте самостоятельно
Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.
От простого к сложному
Проверьте себя
Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.
У честного кубика A — единица, B — пятёрка. Найдите вероятность A или B.
Два несовместимых события имеют вероятности 0,3 и 0,25. Какова вероятность ни одного?
Для A={1,2}, B={2,3}, C={1,3} сколько из трёх пар событий совместимы?
Источники и соглашения
Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.