Сложение вероятностей

Почему простая сумма не всегда подходит

Ищем вероятность хотя бы одного из событий $A$ и $B$. Если сложить $P(A)$ и $P(B)$, исходы общей части будут учтены дважды. Вычитание $P(A\cap B)$ оставляет их один раз и даёт вероятность объединения.

Правило не требует независимости или равновозможных исходов. Оно относится к любым двум событиям одной вероятностной модели. Но для численного расчёта нужны достаточные данные: две отдельные вероятности обычно не определяют их пересечение.

Несовместимый случай

Если события не могут произойти вместе, пересечение пусто и имеет вероятность ноль. Тогда вероятности складываются напрямую. При одном броске кубика «выпала единица» и «выпала пятёрка» несовместимы, поэтому вероятность одного из этих исходов $1/6+1/6=1/3$.

События «чётное число» и «число больше трёх» совместимы. Для честного кубика сумма $1/2+1/2=1$ завышает ответ: числа $4$ и $6$ попали в неё дважды. Вычитаем $2/6$ и получаем $2/3$.

Данные должны быть согласованы

Пересечение не может быть больше ни одного из событий. С другой стороны, сумма вероятностей минус пересечение не должна превышать $1$. Например, при $P(A)=0{,}8$ и $P(B)=0{,}7$ общая часть не может быть меньше $0{,}5$.

Если известно только $P(A)=0{,}4$ и $P(B)=0{,}3$, вероятность объединения может лежать от $0{,}4$ до $0{,}7$. Нижняя граница соответствует включению меньшего события в большее, верхняя — несовместимости. Выбрать одно число без дополнительного условия нельзя.

Не заменяйте пересечение произведением вероятностей автоматически. Такое произведение допустимо при независимости; при зависимости нужна условная вероятность или непосредственный подсчёт общей части.

Три примера

1. Вероятности двух несовместимых исходов равны $0{,}2$ и $0{,}35$. Вероятность одного из них $0{,}55$.
2. Известно $P(A)=0{,}6$, $P(B)=0{,}5$, $P(A\cap B)=0{,}3$. Объединение имеет вероятность $0{,}6+0{,}5-0{,}3=0{,}8$.
3. В стандартной колоде $52$ карты. При равномерном выборе вероятность «пиковая или туз» равна $(13+4-1)/52=16/52=4/13$: пиковый туз нужно посчитать один раз.