Объединение и пересечение событий

Два условия в одном опыте

Объединение $A\cup B$ — событие «произошло $A$ или $B$ или оба сразу». Пересечение $A\cap B$ — событие «произошли и $A$, и $B$». Операции относятся к одному пространству исходов. Если эксперименты разные, сначала нужно описать общий опыт, например пару бросков.

В математическом «или» общая часть включается. Разговорное «или чай, или кофе, но не вместе» задаёт другое условие — ровно один вариант. Уточнение «но не оба» нельзя потерять при переводе текста в формулу.

Кубик как небольшая модель

Пусть $A=\{2,4,6\}$ — выпало чётное число, а $B=\{4,5,6\}$ — число больше трёх. Тогда $A\cup B=\{2,4,5,6\}$, а $A\cap B=\{4,6\}$. В объединении каждый исход записываем один раз: общие числа $4$ и $6$ не удваиваются.

Пересечение входит в каждое из событий; каждое событие входит в объединение. Значит, вероятность пересечения не больше каждой отдельной вероятности, а вероятность объединения не меньше каждой из них. Эти проверки помогают обнаружить невозможные числовые ответы.

Диаграмма не задаёт вероятность

В диаграмме Венна прямоугольник обозначает пространство исходов, а области — события. Перекрытие показывает совместные исходы. Обычный рисунок объясняет включение и пересечение, но площадь нарисованного круга не обязательно пропорциональна вероятности: для такого прочтения нужна специальная масштабная модель.

Если пересечение пусто, события несовместимы. Если оно непусто, события могут произойти вместе. Это ещё ничего не говорит о независимости: независимость проверяют вероятностями, а не только наличием общей области.

Три примера

1. У честного кубика для $A=\{1,2\}$ и $B=\{2,3\}$ объединение $\{1,2,3\}$ имеет вероятность $3/6=1/2$, пересечение $\{2\}$ — $1/6$.
2. При одном выборе карты из стандартной колоды $52$ карт событие «червовая» и событие «король» пересекаются в одной карте — короле червей. В объединении $13+4-1=16$ карт.
3. События «меньше трёх» и «больше четырёх» для кубика несовместимы: $\{1,2\}\cap\{5,6\}=\varnothing$. Но они не противоположны, потому что числа $3$ и $4$ не входят ни в одно из них.