Множества и события

Что входит в набор

Множество — совокупность объектов, для которой определено, какие объекты в неё входят. Объекты называют элементами. Запись $3\in A$ означает «число три принадлежит множеству $A$», а $3\notin A$ — «не принадлежит».

Для множества важен состав, но не порядок перечисления и не повторы. Записи $\{1,2,3\}$ и $\{3,1,2,2\}$ задают одно множество из трёх элементов. Это отличается от списка наблюдений в статистике, где повторяющиеся значения учитываются отдельно.

Элемент или подмножество

Если каждый элемент $B$ принадлежит $A$, то $B$ — подмножество $A$: $B\subseteq A$. Пусть $A=\{1,2,3,4\}$, $B=\{2,4\}$. Тогда $2\in A$, но $B\subseteq A$. Символ принадлежности относится к одному элементу, символ включения — к связи множеств.

Пустое множество $\varnothing$ не содержит элементов. Не путайте его с $\{0\}$: в последнем есть один элемент — ноль. У пустого множества мощность, то есть число элементов, равна $0$; у $\{0\}$ — $1$.

События как множества

В конечном случайном эксперименте пространство $\Omega$ содержит все различаемые исходы, а событие — те исходы, которые удовлетворяют условию. Для кубика $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$, а событие «чётное число» — $A=\{2,4,6\}$.

Достоверное событие совпадает с $\Omega$, невозможное — с $\varnothing$. Противоположное событие содержит все исходы вне $A$, но внутри выбранного $\Omega$. Поэтому без указания пространства слово «все остальные» может быть неоднозначным.

Размер события и его вероятность — разные характеристики. Только в конечной равновозможной модели вероятность равна отношению числа элементов события к числу всех исходов. Перечисление множества само по себе вероятности не задаёт.

Три примера

1. В записи $A=\{2,2,4,6\}$ три различных элемента. Число $4$ принадлежит $A$, а число $3$ — нет.
2. Для чисел от $1$ до $10$ событие «делится на $5$» задаётся множеством $\{5,10\}$. Оно является подмножеством события «не меньше пяти» — $\{5,6,7,8,9,10\}$.
3. У кубика событие «больше шести» пусто. Событие «не больше шести» совпадает с $\Omega$. Их вероятности $0$ и $1$ при любой вероятностной модели на этих шести исходах, включая неравномерную.