Умножение вероятностей и дерево опыта

Следующий шаг зависит от пройденного

Чтобы найти вероятность «сначала $A$, затем $B$», умножают вероятность первого события на вероятность второго при условии первого. Общее правило умножения не требует независимости; зависимость уже учтена в $P(B\mid A)$.

Если события независимы, условная вероятность совпадает с обычной, и формула упрощается до $P(A)P(B)$. Именно это дополнительное условие позволяет умножать исходные вероятности без пересчёта.

Дерево как запись условий

Корень дерева — начало опыта. Из вершины выходят ветви возможных продолжений. Подпись ветви — вероятность этого продолжения с учётом всего пути до вершины. У ветвей, составляющих все взаимоисключающие продолжения, вероятности в сумме равны $1$.

Вероятность полного пути получают умножением вероятностей его ветвей. Если событию подходят несколько разных конечных путей, их вероятности складывают: в одном выполнении опыта реализуется только один из этих путей.

Не складывайте вероятность короткого пути и его продолжения как несовместимые события: продолжение уже входит в первый случай. Сначала приведите рассматриваемые события к полным различимым путям одного дерева.

Пример без возвращения

В мешке три красных и два синих шара. После первого красного остаются два красных и два синих; после первого синего — три красных и один синий. Поэтому вероятность красного на втором шаге по этим двум ветвям равна соответственно $2/4$ и $3/4$.

Для двух красных подряд перемножаем $(3/5)(2/4)=3/10$. Использовать $(3/5)^2$ было бы ошибкой: состав мешка изменился. При возвращении и независимом перемешивании вероятность второго красного снова была бы $3/5$.

Нулевые ветви

Если вероятность пути уже равна нулю, вероятность любого его продолжения тоже нулевая. Не нужно вычислять условную вероятность путём деления на ноль. Формальная запись цепочки с условными вероятностями используется только там, где соответствующие условия имеют положительную вероятность.

Три примера

1. Событие $A$ имеет вероятность $0{,}7$, а $P(B\mid A)=0{,}4$. Вероятность обоих событий $0{,}7\cdot0{,}4=0{,}28$.
2. Из мешка с тремя красными и двумя синими шарами выбирают два без возвращения. Разные цвета дают пути красный–синий и синий–красный: $(3/5)(2/4)+(2/5)(3/4)=3/5$.
3. Три независимые попытки имеют вероятности успеха $0{,}8$, $0{,}6$, $0{,}5$. Вероятность успеха во всех трёх $0{,}8\cdot0{,}6\cdot0{,}5=0{,}24$. Постоянство вероятности здесь не требуется: это правило умножения, но не схема Бернулли с одним $p$.