Базовый7 минут3 задачи с решениями

Систематический перебор

Перечисляем варианты без пропусков и повторов, проверяя роль порядка и возвращения.

Перед чтением

Что вы разберёте в этой статье

Перечисляем варианты без пропусков и повторов, проверяя роль порядка и возвращения.

Простыми словами

Здесь разбирается математический инструмент, который понадобится дальше. Сначала поймите смысл действия на простом числе или рисунке, а затем переходите к буквенной записи.

Основные понятия

перебор
варианты
порядок
таблица вариантов

Как читать формулы

Под каждой формулой дана расшифровка величин и условий. Сначала определите, что известно, затем проверьте ограничения и только после этого подставляйте числа.

Как закрепить

После теории решите три задачи: простую, среднюю и сложную. Подсказка, шаги решения и ответ открываются отдельно.

Раздел: Математическая основа · школьная привязка: 5, 6, 8, 10 класс

Перебор — это правило записи

Систематический перебор означает, что варианты перечисляются по заранее выбранному правилу. Мы хотим получить каждый допустимый вариант ровно один раз. Просто вспоминать подходящие примеры недостаточно: такой список трудно проверить на полноту.

Удобное правило — сначала зафиксировать первый элемент и перебрать все допустимые продолжения, затем перейти к следующему первому элементу. Другие формы того же приёма — таблица вариантов и дерево, где каждый путь от начала до конца задаёт один результат.

Различаем похожие задачи

Для двух мест и букв А, Б, В с повторениями список начинается АА, АБ, АВ, затем БА, ББ, БВ, затем ВА, ВБ, ВВ. Получаем $3\cdot3=9$ последовательностей. Если повторять буквы нельзя, остаётся шесть.

Если из трёх человек выбирают капитана и помощника, роли различаются: АБ и БА — разные назначения. Если выбирают пару дежурных с одинаковыми ролями, это одна и та же пара. В первом случае вариантов шесть, во втором — три.

Правило умножения работает, когда число продолжений одинаково для каждого первого выбора. Если из одной вершины дерева выходят две ветви, а из другой три, общее число конечных путей $2+3=5$ . Нельзя заменить это дерево произведением $2\cdot3$ .

Как проверять полноту

Группы вариантов должны не пересекаться и вместе покрывать все допустимые случаи. Например, двузначные числа группируем по десяткам: число не попадёт сразу в две группы. Внутри группы упорядочиваем единицы. В конце проверяем ограничения: может ли первая цифра быть нулём, можно ли повторять элементы, важен ли порядок.

В вероятности полный список особенно полезен для маленьких моделей. Но количество вариантов ещё не доказывает равенства их вероятностей: это отдельное условие случайного эксперимента.

Три примера

Есть две футболки и три пары брюк; любая футболка подходит к любой паре. Комплектов $2\cdot3=6$ .
Из цифр $0$ , $1$ , $2$ составляют двузначные числа без повторений. Десяток не может быть нулём. Список: $10$ , $12$ , $20$ , $21$ — четыре числа.
Из А, Б, В выбирают пару без ролей. Упорядоченных записей шесть: АБ, АВ, БА, БВ, ВА, ВБ. Каждая пара записана дважды, поэтому различных пар $6/2=3$ .

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

N=a\cdot b

Формула словами: Если после каждого из a первых вариантов доступны ровно b вторых, последовательностей a·b.

Как применять: Определите, что обозначает каждая буква, приведите величины к одному виду и выполняйте действия по порядку.

N=n(n-1)

Формула словами: Число упорядоченных пар разных элементов из набора из n элементов, n ≥ 2.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Лаборатория: Карточная колода Лаборатория: Дерево вероятностей Комбинаторика

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Простой

Для комплекта выбирают одну из трёх футболок и одну из двух пар шорт. Все сочетания допустимы. Сколько различных комплектов получится?

Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.

Средний

Из цифр 0, 2 и 5 составляют двузначные числа без повторения цифр. Сколько чисел получится?

Сложный

Сколько трёхзначных чётных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 без повторений?

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.