Пересечение событий

Оба условия одновременно

Пересечение $A\cap B$ происходит тогда, когда выполняются оба события. Если ученик занимается шахматами и музыкой, он входит в общую часть двух групп. Включающее «или» вместо «и» дало бы объединение, то есть другую совокупность.

В конечной модели пересечение находят сравнением списков исходов. Каждый общий исход записывается один раз. Операция симметрична: $A\cap B=B\cap A$, а несколько пересечений можно группировать без изменения результата.

Совместное и условное — разные вопросы

Вероятность $P(A\cap B)$ относится ко всему пространству. Условная $P(A\mid B)$ относится к случаю, когда уже известно $B$. При $P(B)>0$ они связаны делением: $P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)$. Нельзя безусловно ставить эти числа равными.

Пересечение не требует одновременности в физическом времени. В опыте из двух последовательных бросков «орёл сначала» и «решка затем» являются событиями одного общего опыта; их пересечение — конкретный двухшаговый путь.

Границы и ошибки

Пересечение входит в каждое из событий, поэтому его вероятность не больше меньшей отдельной вероятности. Нижняя граница равна $\max(0,P(A)+P(B)-1)$. Например, двум событиям с вероятностями $0{,}8$ и $0{,}7$ необходимо пересечение хотя бы $0{,}5$.

Формулу $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ применяют только при независимости. Геометрическое перекрытие кругов на схеме само по себе независимости не показывает.

Три примера

1. Для $A=\{1,2,4\}$ и $B=\{2,3,4\}$ пересечение равно $\{2,4\}$.
2. В группе $20$ человек $8$ изучают язык, из них $3$ занимаются музыкой. При равномерном выборе вероятность обоих занятий $3/20$, а музыки при известном изучении языка $3/8$.
3. Если $A$ входит в $B$, то $A\cap B=A$. При $P(A)=0{,}2$ пересечение имеет вероятность $0{,}2$, независимо от того, насколько больше $B$.