Сочетания без повторений

Состав важен, порядок нет

Сочетание без повторений — выбор $k$ различных элементов из $n$ без учёта порядка. Комиссия из Анны и Бориса совпадает с комиссией из Бориса и Анны. Если назначаются разные роли, это уже размещение.

Каждое выбранное подмножество можно упорядочить $k!$ способами. Поэтому число размещений $A_n^k$ делят на $k!$ и получают $\binom nk$. Это деление обосновано одинаковым количеством порядков для каждого состава.

Границы и симметрия

Пустой выбор существует одним способом, так что $\binom n0=1$. Выбрать весь набор тоже можно единственным способом: $\binom nn=1$. При $k>n$ подходящих подмножеств нет. В формулах часто продолжают обозначение нулём для таких целых $k$, но факториальная дробь там уже не применяется.

Симметрия $\binom nk=\binom n{n-k}$ следует из дополнения: каждому выбранному набору соответствует единственный набор оставшихся элементов.

Применение в вероятности

При равномерном выборе подмножества знаменатель вероятности равен общему числу сочетаний. Числитель должен считать подмножества того же размера по тому же правилу, а не последовательности. При нескольких цветах число нужных составов часто получают произведением сочетаний отдельно по цветам.

Не считайте одинаковыми разные физические объекты только потому, что у них один цвет. В урне отдельные шары — разные элементы равномерного выбора; цвет определяет благоприятность, а не устраняет объект из подсчёта.

Три примера

1. Пару из шести человек выбирают $\binom62=15$ способами.
2. Комиссий из трёх участников среди десяти $\binom{10}3=120$.
3. Из семи шаров три красных. При равномерном выборе пары без возвращения вероятность двух красных $\binom32/\binom72=3/21=1/7$.