Факториал и нулевой случай

Произведение целых чисел

Факториал положительного целого $n$ — произведение всех целых чисел от $1$ до $n$. Восклицательный знак является математическим обозначением, а не знаком эмоционального усиления: $4!=1\cdot2\cdot3\cdot4=24$.

Значение $0!=1$ задаётся отдельно как пустое произведение. Комбинаторный смысл: пустую последовательность можно устроить одним способом — ничего не выбрать. Этот случай сохраняет формулы перестановок и сочетаний на границах.

Сокращение до вычисления

Факториалы растут быстро. Отношение $8!/6!$ лучше сократить до $8\cdot7$, чем сначала вычислять оба больших числа. При сокращении учитывают всё произведение: знак факториала не распространяется на соседнюю сумму.

Записи $(n+1)!$ и $n!+1$ совершенно различны. Для $n=3$ первая равна $24$, вторая $7$. Аналогично $n!/k!$ не равно $(n-k)!$ в общем случае.

В школьном определении факториал не применяется к отрицательным целым и произвольным дробям. Продолжение через гамма-функцию — отдельная конструкция, которая не требуется для подсчёта конечных перестановок.

Почему он появляется

При размещении $n$ разных объектов в ряд первое место можно заполнить $n$ способами, второе $n-1$, последнее одним. Правило произведения даёт $n!$. Если объекты неразличимы, этот подсчёт завышает число разных рядов, и нужна поправка на повторения.

Три примера

1. $5!=120$. Это число порядков пяти различных карточек.
2. $7!/5!=7\cdot6=42$: общие первые пять множителей сокращаются.
3. $\binom40=4!/(0!\,4!)=1$. Пустой выбор из четырёх объектов существует ровно один раз; значение $0!=1$ делает формулу согласованной.