Перестановки без повторений

Каждый объект используется ровно один раз

Перестановка $n$ различных объектов — их расположение в линейном порядке. Используются все объекты, повторов нет, и смена хотя бы двух разных позиций создаёт новый вариант. Число перестановок равно $n!$ по правилу произведения.

Первое место имеет $n$ вариантов, второе $n-1$, далее число свободных объектов уменьшается. Для нуля объектов есть одна пустая перестановка. Для одного объекта также один порядок.

Где проходит граница модели

Формула относится к различным объектам и различимым местам ряда. Если буквы повторяются, перестановка двух одинаковых букв не создаёт новое слово. Если рассадка круговая и повороты считаются одинаковыми, обычное $n!$ тоже требует изменения модели.

Условия вроде «два человека должны сидеть рядом» не исчезают при выборе факториала. Часто соседнюю группу рассматривают как один блок, считают порядок блоков и отдельно внутренний порядок группы. Обязательно проверить, не возникает ли одинаковое представление несколько раз.

Три примера

1. Четыре различные книги на полке можно расставить $4!=24$ способами.
2. Пять книг, одна заданная стоит первой: остальные четыре свободны, поэтому $4!=24$ вариантов.
3. У пяти разных книг две заданные должны стоять рядом в любом порядке. Склеиваем их в блок: четыре объекта располагаются $4!$ способами, внутри блока два порядка. Всего $48$.

Типичная ошибка — считать выбор части объектов перестановкой всех. Если из пяти выбирают и упорядочивают только два, число вариантов $5\cdot4=20$, а не $5!=120$. Это размещения. Если порядок выбранной пары не важен, получится ещё меньше — сочетания.