Перестановки с повторяющимися элементами

Одинаковые буквы не создают новый вариант

Если в ряду есть одинаковые элементы, перестановка двух таких элементов внешне ничего не меняет. Поэтому формула $n!$, считающая все объекты различными, завышает число разных рядов.

Пусть элементов первого типа $n_1$, второго $n_2$ и так далее, всего $n$. Мысленно снабдим одинаковые элементы разными номерами. Теперь порядков $n!$, но каждому видимому ряду соответствует $n_1!\cdots n_r!$ перестановок скрытых номеров. Деление на этот одинаковый множитель даёт формулу.

Условия различимости

Нужно точно решить, какие предметы считаются одинаковыми. Две одинаковые на вид книги с разными инвентарными номерами могут быть разными исходами в одной задаче и неразличимыми в другой. Решает условие подсчёта, а не физическое сходство само по себе.

Количество элементов каждого типа фиксировано. Если тип на каждой позиции можно выбирать свободно, это уже размещения с повторениями, а не перестановки фиксированного набора.

Граничный случай одного типа даёт $n!/n!=1$: все позиции одинаковы. При всех количествах по единице знаменатель равен единице, и возвращается обычное $n!$.

Три примера

1. Из букв слова «МАМА» получаются $4!/(2!2!)=6$ различных рядов: две М и две А повторяются.
2. Пять мест заполняют три белых и два чёрных одинаковых жетона. Число рядов $5!/(3!2!)=10$.
3. Для букв А, А, Б, В, В, В число рядов $6!/(2!1!3!)=60$.

Не делите на количество повторяющихся букв вместо их факториалов. Три одинаковых буквы переставляют скрытые номера $3!=6$ способами, а не тремя. Эта тема является комбинаторным расширением; отдельная обязательная школьная привязка здесь не утверждается.