Школьный6 минут3 задачи с решениями

Размещения без повторений

Выбираем k разных объектов из n и учитываем порядок выбранных.

Перед чтением

Что вы разберёте в этой статье

Выбираем k разных объектов из n и учитываем порядок выбранных.

Простыми словами

Комбинаторика считает варианты без полного перечисления. Главные вопросы: важен ли порядок, разрешены ли повторения и сколько объектов выбирают.

Основные понятия

размещения
без повторений
порядок
A_n^k

Как читать формулы

Под каждой формулой дана расшифровка величин и условий. Сначала определите, что известно, затем проверьте ограничения и только после этого подставляйте числа.

Как закрепить

После теории решите три задачи: простую, среднюю и сложную. Подсказка, шаги решения и ответ открываются отдельно.

Раздел: Подсчёт вариантов · школьная привязка: 10 класс

Часть набора в определённом порядке

Размещение без повторений — упорядоченный выбор $k$ различных элементов из $n$ . В отличие от перестановки всех объектов, здесь часть может остаться невыбранной. В отличие от сочетания, порядок важен.

Если из восьми участников выбирают первое, второе и третье места без ничьих, роли мест различаются. На первую позицию есть восемь кандидатов, на вторую семь, на третью шесть. Произведение и является числом размещений.

Формула и границы

На очередном шаге один ранее выбранный элемент исключается. Всего множителей $k$ , последний равен $n-k+1$ . Факториальная запись возникает сокращением первых $(n-k)!$ множителей.

При $k=0$ есть одна пустая последовательность. При $k=n$ размещение становится перестановкой и равно $n!$ . Если нужно выбрать больше различных элементов, чем существует, вариантов нет; факториальную формулу с отрицательным аргументом применять нельзя.

Как узнать, нужен ли порядок

Спросите, отличаются ли результаты после перестановки выбранных объектов. Два человека на роли капитана и помощника — разные назначения. Два человека в обычную комиссию — та же комиссия, поэтому размещение посчитает каждый состав несколько раз.

Ограничения на отдельные позиции могут нарушить прямую формулу. При составлении чисел ведущий ноль запрещён, а в пароле иногда разрешён: это разные условия, которые учитываются до произведения.

Три примера

Из пяти человек выбирают капитана и помощника: $A_5^2=5\cdot4=20$ .
Из десяти различных карточек берут три последовательно без возвращения: $10\cdot9\cdot8=720$ исходов с порядком.
Из цифр $0,1,2,3$ составляют двузначное число без повторов. Первая позиция имеет три варианта, вторая — три оставшихся, всего $9$ . Формула $A_4^2=12$ включила бы запрещённые ведущие нули.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

A_n^k=n(n-1)\cdots(n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!},\qquad0\le k\le n

Формула словами: n и k — целые; выбирается упорядоченная последовательность k различных элементов.

Как применять: Ответьте на три вопроса об порядке, повторениях и размере выбора, после чего выберите перестановки, размещения, сочетания или правило умножения.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Комбинаторика

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Простой

Из 6 человек выбирают двух на разные роли. Сколько назначений без совмещения?

Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.

Средний

Сколько упорядоченных троек без повторений можно выбрать из 8 элементов?

Сложный

Сколько трёхзначных чисел из цифр 0,1,2,3 без повторов?

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.