Комбинаторное правило произведения

Несколько решений подряд

Правило произведения считает варианты, состоящие из последовательных выборов. Если первый шаг возможен $a$ способами, а после каждого первого шага второй доступен $b$ способами, число пар равно $ab$.

Это утверждение о количестве, а не о независимости случайных событий. Продолжения могут быть разными по составу, но одинаковыми по числу. При выборе двух разных людей на разные роли после каждого первого кандидата остаётся одинаковое число остальных, хотя их имена различаются.

Какие ограничения уже учтены

Сначала определяют, важен ли порядок, допускается ли повтор и есть ли ограничения на первую позицию. Код с ведущим нулём и натуральное число одинаковой длины — разные объекты. У трёхзначного числа первая цифра не ноль, поэтому число свободных десятичных записей $1000$ нужно заменить $9\cdot10\cdot10=900$.

Если число продолжений меняется в зависимости от первой ветви, универсальное произведение может быть неверным. Тогда считают произведения внутри однородных случаев и складывают их.

Не нужно делить на факториал «на всякий случай». Деление на число порядков допустимо, только когда каждый конечный объект одинаковое число раз представлен перечисленными последовательностями.

Три примера

1. Три вида билета сочетаются с четырьмя сеансами: при доступности всех сочетаний получается $12$ вариантов.
2. Капитана и помощника выбирают из пяти людей без совмещения ролей. Первых выборов $5$, вторых $4$, всего $20$ назначений.
3. Двузначные числа из цифр $0,1,2$ без повторов: первая цифра имеет два варианта, после неё вторая — два. Итог $4$, а не $3\cdot3=9$.

Правильный подсчёт удобно сверять маленьким деревом: у каждой вершины посмотрите число детей и убедитесь, что произведение действительно описывает все листья. Это особенно полезно перед применением готовых формул размещений.