Комбинаторное правило суммы

Выбрать один из разных путей

Комбинаторное правило суммы используется, когда решение выбирают из одной или другой группы вариантов. Если группы не пересекаются, число всех решений равно сумме размеров групп. Оно считает возможности, а не их вероятности.

Например, на перекус берут либо один из трёх видов фруктов, либо один из двух видов йогурта. Если выбирается ровно один предмет и группы не пересекаются, вариантов $3+2=5$. Выбор фрукта вместе с йогуртом был бы другой задачей и потребовал правила произведения.

Главное условие — отсутствие повторов

Каждый допустимый объект должен попасть ровно в одну группу. Если некоторый вариант подходит к обеим, простая сумма его удвоит. Тогда используют вычитание пересечения или сначала переразбивают варианты на непересекающиеся случаи.

Разбиение на случаи должно также покрывать все допустимые решения. Можно разделить целые числа на чётные и нечётные; нельзя забыть ноль, когда делят допустимый диапазон только на положительные и отрицательные.

Правило обобщается на любое конечное число попарно непересекающихся групп. Попарная несовместимость сильнее отсутствия общего элемента у всех групп одновременно.

Связь с вероятностью

В конечной равновозможной модели правило помогает посчитать благоприятные исходы. Но само наличие $a+b$ вариантов не означает вероятностей $a/(a+b)$ и $b/(a+b)$ без равномерного выбора. Точки разного веса требуют суммирования весов отдельно.

Три примера

1. Билет выбирают в одном из двух непересекающихся секторов: $8$ мест в первом и $12$ во втором. Всего $20$ вариантов.
2. Числа от $1$ до $10$, кратные двум или пяти: групповые размеры $5$ и $2$, но число $10$ общее. Итог $5+2-1=6$, простое правило суммы без поправки не подходит.
3. Трёхзначный код допускается либо из трёх букв, либо из трёх цифр; допустимых буквенных кодов $27$, цифровых $1000$. Если смешанные коды запрещены, всего $1027$.