Углублённый6 минут3 задачи с решениями

Включение–исключение

Убираем двойной счёт в объединении нескольких множеств и возвращаем вычтенное лишний раз.

Перед чтением

Что вы разберёте в этой статье

Убираем двойной счёт в объединении нескольких множеств и возвращаем вычтенное лишний раз.

Простыми словами

Правила сложения и умножения вероятностей отвечают на разные вопросы. Сложение обычно связано с выбором одного из вариантов, умножение — с последовательным выполнением нескольких условий.

Основные понятия

включение исключение
три события
объединение
двойной счёт

Как читать формулы

Под каждой формулой дана расшифровка величин и условий. Сначала определите, что известно, затем проверьте ограничения и только после этого подставляйте числа.

Как закрепить

После теории решите три задачи: простую, среднюю и сложную. Подсказка, шаги решения и ответ открываются отдельно.

Раздел: Правила вероятности · школьная привязка: 8, 10 класс

Почему чередуются знаки

Для двух событий сумма отдельных вероятностей дважды учитывает общую часть, поэтому пересечение вычитают. Для трёх после вычитания всех парных пересечений точки, принадлежащие всем трём событиям, оказываются удалены полностью. Их нужно добавить обратно один раз.

Проверим точку тройного пересечения: сначала она посчитана трижды, потом вычтена трижды, затем добавлена один раз. Итоговый коэффициент равен единице. Для точки ровно двух событий коэффициент $2-1=1$ , для точки одного — сразу $1$ .

Количества и вероятности

Формула одинаково работает для числа элементов конечных множеств и для вероятностей событий. При переходе к вероятностям не требуется равновозможности исходов: аддитивность применяется к непересекающимся частям разбиения.

В данных про три кружка фраза «посещают A и B» обычно включает посещающих третий кружок тоже. Если даны значения «только A и B, без C», это уже отдельные области: их нельзя без преобразования подставлять как полные парные пересечения.

Условия и проверка

Все множества относятся к одной совокупности, а числа пересечений должны быть совместимы. Итог не больше полного размера и не меньше размера любого отдельного множества. Формула не исправляет противоречивые входные данные.

В школьной карте включение–исключение относится к углублению 8 класса и развивается в старших маршрутах. Общая запись для $n$ множеств служит расширением; для трёх можно сначала рассуждать по отдельным областям.

Три примера

В группах $12$ и $9$ человек, общих $4$ . Разных людей в объединении $12+9-4=17$ .
Три множества имеют размеры $10,8,7$ , парные пересечения $3,2,4$ , тройное $1$ . Объединение содержит $10+8+7-3-2-4+1=17$ .
Для вероятностей $0{,}5,0{,}4,0{,}3$ , парных $0{,}2,0{,}1,0{,}15$ и тройной $0{,}05$ объединение имеет вероятность $0{,}8$ . Ни одного события — $0{,}2$ .

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C)

Формула словами: Тройное пересечение возвращается один раз после вычитания трёх парных.

Как применять: Выясните, используется «и» или «или», есть ли общая часть событий и зависит ли второй шаг от результата первого.

\left|\bigcup_{i=1}^nA_i\right|=\sum_{\varnothing\ne I\subseteq\{1,\ldots,n\}}(-1)^{|I|+1}\left|\bigcap_{i\in I}A_i\right|

Формула словами: Конечная формула подсчёта чередует суммы одиночных, парных, тройных и последующих пересечений.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Лаборатория: Диаграмма Венна

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Простой

Два множества имеют размеры 15 и 11, общая часть 4. Каков размер объединения?

Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.

Средний

Размеры A,B,C равны 9,8,7. Парные пересечения 3,2,2, тройное 1. Найдите размер объединения.

Сложный

В совокупности 30 человек три кружка имеют размеры 12,11,10; парные пересечения 4,3,5, тройное 2. Сколько человек не посещают ни один кружок?

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.