Школьный6 минут3 задачи с решениями

Успехи в заданном диапазоне

Вероятности «не менее», «не более» и «от a до b» для числа успехов.

Перед чтением

Что вы разберёте в этой статье

Вероятности «не менее», «не более» и «от a до b» для числа успехов.

Простыми словами

Повторные испытания описывают серию однотипных попыток. Важно различать конкретный порядок успехов и само количество успехов в серии.

Основные понятия

диапазон
не менее
не более

Как читать формулы

Под каждой формулой дана расшифровка величин и условий. Сначала определите, что известно, затем проверьте ограничения и только после этого подставляйте числа.

Как закрепить

После теории решите три задачи: простую, среднюю и сложную. Подсказка, шаги решения и ответ открываются отдельно.

Раздел: Повторные испытания · школьная привязка: 9, 10 класс

Перевод слов на числа

Число успехов целое. «Не менее трёх» означает $X\ge3$ , а «более трёх» — $X\ge4$ . «От двух до четырёх включительно» означает три отдельных значения: 2, 3 и 4. События $X=k$ несовместны, поэтому их вероятности складываются.

В схеме Бернулли каждое слагаемое вычисляют по биномиальной формуле. Для нецелого интервала нижнюю границу округляют вверх, верхнюю — вниз, а невозможные значения вне $0,\ldots,n$ исключают. Если целых допустимых значений не осталось, вероятность нулевая.

Когда удобнее дополнение

Сумма большого числа слагаемых бывает лишней: $P(X\ge2)=1-P(X=0)-P(X=1)$ . Сначала выберите событие с меньшим числом значений. При вычислении очень маленьких хвостовых вероятностей вычитание почти единицы из единицы может терять численную точность; надёжные программы учитывают это отдельно.

Три примера

В четырёх бросках честной монеты от одного до двух орлов: $(\binom41+\binom42)/16=(4+6)/16=5/8$ .
В трёх испытаниях с $p=0.2$ не менее двух успехов: $3\cdot0.2^2\cdot0.8+0.2^3=0.104$ .
В пяти бросках честной монеты не более четырёх орлов: $1-P(X=5)=1-1/32=31/32$ . Пять отдельных вероятностей вычислять не нужно.

Проверка и ошибки

Вероятность диапазона не меньше вероятности каждого значения внутри него и не больше единицы. Увеличение диапазона не может уменьшить результат. Включение границы существенно: разница между «не менее двух» и «более двух» равна $P(X=2)$ , а не нулю. Для непрерывных величин отдельная точка может иметь нулевую вероятность, но число успехов дискретно.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

P(a\le X\le b)=\sum_{k=a}^b\binom nkp^k(1-p)^{n-k}

Формула словами: Для биномиального X и целых границ 0 ≤ a ≤ b ≤ n.

Как применять: Запишите число испытаний, вероятность успеха и требуемое число успехов; отдельно учтите число возможных расположений успехов.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Лаборатория: Схема Бернулли Формула Бернулли Хотя бы один успех Биномиальные вероятности

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Простой

Честную монету независимо бросают 2 раза. Какова вероятность не более одного орла?

Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.

Средний

Честную монету независимо бросают 4 раза. Найдите вероятность от двух до трёх орлов включительно.

Сложный

В четырёх независимых испытаниях p=0.2. Найдите вероятность не менее двух успехов.

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.