Сигма-алгебры и измеримые события

Перед чтением

Что вы разберёте в этой статье

Как формально описать информацию, которую разрешено различать.

Простыми словами

Вероятность — это число от нуля до единицы, показывающее, насколько возможным считается событие в выбранной модели. Сначала всегда описывают опыт и его исходы, и лишь затем считают.

Основные понятия

Сигма-алгебры и измеримые события
probability-space
sets

Как читать формулы

Под каждой формулой дана расшифровка величин и условий. Сначала определите, что известно, затем проверьте ограничения и только после этого подставляйте числа.

Как закрепить

После теории решите три задачи: простую, среднюю и сложную. Подсказка, шаги решения и ответ открываются отдельно.

Раздел: Основы вероятности · университетский уровень

Язык доступных вопросов

Представьте кубик, у которого вам сообщают только чётность. Вы можете определить, наступило ли событие «чётное», но не отличить двойку от четвёрки. Сигма-алгебра описывает набор вопросов, на которые данная информация в принципе позволяет ответить. Она состоит из множеств исходов, а не из самих исходов.

Определение и следствия

Семейство $\mathcal F$ содержит всё пространство, замкнуто относительно дополнения и счётного объединения. Отсюда следуют наличие пустого множества и замкнутость относительно счётного пересечения. Например, отрицание вопроса должно быть допустимым, если допустим сам вопрос.

На конечном пространстве сигма-алгебра определяется разбиением на непустые атомы: каждый допустимый вопрос — объединение некоторых атомов. При $m$ атомах имеется $2^m$ событий. Важно считать атомы информации, а не обязательно элементарные исходы.

Порождённая информация

$\sigma(X)$ — наименьшая сигма-алгебра, делающая наблюдение $X$ измеримым. Если X сообщает только чётность, её атомы — чётные и нечётные исходы. Борелевская сигма-алгебра на прямой порождается открытыми множествами. Она позволяет говорить об интервалах и их счётных комбинациях.

Набросок проверки

Чтобы проверить конечное семейство, проверьте наличие Ω и каждого дополнения, затем замкнутость объединений. Одного условия на число множеств недостаточно. Пересечение любых сигма-алгебр на одном Ω снова является сигма-алгеброй; их обычное объединение таким быть не обязано.

Три примера

Тривиальная сигма-алгебра {∅,Ω} содержит только два вопроса: «никогда» и «всегда».
На кубике информация о чётности даёт четыре события: ∅, чётные, нечётные и Ω.
Разбиение шести исходов на три пары порождает 2³=8 событий. Различить элементы одной пары по такой информации нельзя.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

\Omega\in\mathcal F,\quad A\in\mathcal F\Rightarrow A^c\in\mathcal F,\quad A_n\in\mathcal F\Rightarrow\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\in\mathcal F

Формула словами: Замкнутость относится к дополнениям и счётным объединениям; пересечения получаются по де Моргану.

Как применять: Назовите событие, определите пространство исходов и проверьте предположения модели: конечность, равновозможность или известные вероятности.

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Простой

Сколько событий содержит сигма-алгебра, порождённая разбиением на четыре непустых атома?

Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.

Средний

Ω={1,2,3,4}. Наблюдение X равно 0 на {1,2,3} и 1 на {4}. Сколько событий в σ(X)?

Сложный

Сколько событий в наименьшей сигма-алгебре на {1,2,3,4}, содержащей {1,2} и {2,3}?

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.

MIT 18.175 — Scott Sheffield: определения и условия теории вероятностей (откроется в новой вкладке)