Условное математическое ожидание

Среднее меняется с информацией

Если известна чётность кубика, естественный прогноз его очков — среднее внутри соответствующей группы. До наблюдения группы этот прогноз сам является случайной величиной. После сообщения чётности он принимает конкретное значение.

Строгое определение

Пусть X интегрируема, а $\mathcal G\subset\mathcal F$ — сигма-алгебра известной информации. Условным ожиданием называют интегрируемую $\mathcal G$-измеримую Y, сохраняющую интегралы X по каждому событию из $\mathcal G$. Такое Y существует и единственно с точностью до множества вероятности ноль; это следует из теоремы Радона–Никодима. Значения на нулевых атомах могут быть выбраны произвольно, не меняя этого класса.

Конечное разбиение

Если информация задана атомами положительной вероятности, на каждом атоме берём среднее X с условными весами. Указанные два свойства проверяются непосредственно: результат постоянен на атомах, а умножение среднего на вероятность атома восстанавливает сумму исходных вкладов.

Свойства с условиями

Если X уже измерима относительно G, то условное ожидание равно X почти наверное. Если X независима от G, результат равен обычному ожиданию. Для вложенных сигма-алгебр действует башенное свойство: сначала усреднить с большей информацией, затем с меньшей — то же самое, что сразу с меньшей.

Для квадратично интегрируемой X условное ожидание является наилучшим G-измеримым прогнозом по среднеквадратичной ошибке. Это не утверждение, что среднее минимизирует любую функцию потерь: при абсолютной ошибке нужен условный медианный прогноз.

Три примера

1. У честного кубика среднее при нечётном результате равно (1+3+5)/3=3, а при чётном — (2+4+6)/3=4. Общее среднее (3+4)/2=3,5.
2. Для X, уже известной из G, дальнейшее усреднение ничего не скрывает: E[X|G]=X.
3. Если X и Y независимы и X интегрируема, знание Y не меняет среднего X. Обратное утверждение для всех зависимостей не следует только из постоянства условного среднего одной X.