Ожидание как интеграл
Единое определение среднего для дискретных, непрерывных и смешанных законов.
Перед чтением
Что вы разберёте в этой статье
Единое определение среднего для дискретных, непрерывных и смешанных законов.
Вероятность — это число от нуля до единицы, показывающее, насколько возможным считается событие в выбранной модели. Сначала всегда описывают опыт и его исходы, и лишь затем считают.
- Ожидание как интеграл
- measures
- measurable-variables
Под каждой формулой дана расшифровка величин и условий. Сначала определите, что известно, затем проверьте ограничения и только после этого подставляйте числа.
После теории решите три задачи: простую, среднюю и сложную. Подсказка, шаги решения и ответ открываются отдельно.
Раздел: Основы вероятности · университетский уровень
Сумма и площадь — частные случаи
Для конечного закона мы складываем значения с вероятностными весами. При плотности используем интеграл от x, умноженного на плотность. Интеграл по вероятностной мере объединяет эти способы и работает даже тогда, когда у закона нет ни конечной таблицы, ни плотности.
Определение по ступеням
Для неотрицательной простой функции, постоянной на конечном разбиении, интеграл — сумма значений, умноженных на меры частей. Неотрицательную измеримую функцию приближают снизу простыми; её интеграл определяется как супремум таких интегралов. Он может быть бесконечным.
Знакопеременную X раскладывают на положительную и отрицательную части. Если обе имеют конечное ожидание, X интегрируема и ожидание конечно. Когда хотя бы одна часть конечна, можно определить расширенное ожидание; выражение «бесконечность минус бесконечность» не определено. В этом справочнике конечные моменты всегда сопровождаются условием существования.
Полезный перенос
Чтобы вычислить ожидание g(X), не обязательно сначала находить распределение g(X). Можно интегрировать g по закону X. Линейность для интегрируемых величин не требует независимости. Но переход предела под знак ожидания требует теоремы: например, монотонной сходимости для неотрицательных функций или доминированной сходимости при интегрируемой границе.
Симметрия сама по себе не гарантирует существования ожидания. У стандартного закона Коши симметричные усечённые интегралы дают ноль, однако абсолютный первый момент бесконечен и обычного ожидания нет.
Три примера
- Если X=−2 с вероятностью 1/4 и X=2 с вероятностью 3/4, то E X=−1/2+3/2=1.
- Для U на [0,1] ожидание U² равно интегралу x² от 0 до 1, то есть 1/3. Это не квадрат E U=1/2.
- Если X=5·1_A и P(A)=0,3, то E X=1,5. Индикатор переводит вероятность события в интеграл функции.
Формула, смысл и ограничения
Главные формулы с расшифровкой
Формула словами: Условие абсолютной интегрируемости гарантирует конечное ожидание знакопеременной величины.
Как применять: Назовите событие, определите пространство исходов и проверьте предположения модели: конечность, равновозможность или известные вероятности.
От простого к сложному
Проверьте себя
Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.
X принимает 1 и 5 с вероятностями 0,75 и 0,25. Найдите E X.
Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.
U равномерна на [0,1]. Найдите E(U³).
Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.
E X=3 и E Y=−1; X,Y интегрируемы и могут зависеть. Найдите E(2X−4Y+5).
Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.
Источники и соглашения
Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.