Меры и вероятностные меры
Длина, количество и вероятность подчиняются общей идее аддитивного размера.
Перед чтением
Что вы разберёте в этой статье
Длина, количество и вероятность подчиняются общей идее аддитивного размера.
Вероятность — это число от нуля до единицы, показывающее, насколько возможным считается событие в выбранной модели. Сначала всегда описывают опыт и его исходы, и лишь затем считают.
- Меры и вероятностные меры
- probability-space
Под каждой формулой дана расшифровка величин и условий. Сначала определите, что известно, затем проверьте ограничения и только после этого подставляйте числа.
После теории решите три задачи: простую, среднюю и сложную. Подсказка, шаги решения и ответ открываются отдельно.
Раздел: Основы вероятности · университетский уровень
Размер не всегда является вероятностью
Считающая мера сообщает число элементов, мера Лебега — длину, площадь или объём, а вероятностная мера — вес события в модели. Обычная мера может иметь бесконечную массу. Вероятность отличается требованием общей массы 1.
Строгое определение
Мера на измеримом пространстве — неотрицательная расширенно-вещественная функция, равная нулю на пустом множестве и счётно-аддитивная на попарно непересекающихся измеримых множествах. Пространство называют пространством с мерой. Полнота означает, что каждое подмножество множества меры ноль тоже измеримо; она не входит в определение любой меры.
Нормировка и ограничения
Если общая масса конечна и положительна, деление на неё даёт вероятность. Нельзя получить равномерную вероятность на всей прямой простым делением длины на бесконечность. Равномерное распределение имеет смысл на ограниченном интервале с положительной длиной.
Счётная аддитивность влечёт непрерывность снизу для возрастающих множеств. Для непрерывности сверху в общем случае нужно, чтобы хотя бы одно множество последовательности имело конечную меру. У вероятности это условие выполнено автоматически.
Набросок вывода
Представьте возрастающее объединение как непересекающиеся добавляемые части. Их массы образуют ряд; конечные частичные суммы — массы текущих множеств. Предел ряда равен массе объединения. Для убывающих множеств используйте дополнения внутри множества конечной меры; без конечности вычитание бесконечностей недопустимо.
Три примера
- Считающая мера множества {a,b,c} равна 3. После нормировки на Ω из пяти точек его вероятность равна 3/5.
- На отрезке [0,8] интервал длины 2 имеет меру 2 и равномерную вероятность 1/4 — это разные численные величины.
- У лучей [n,∞) длина всегда бесконечна, но пересечение пусто. Это показывает, почему непрерывности сверху нужна конечность начальной меры.
Формула, смысл и ограничения
Главные формулы с расшифровкой
Формула словами: Нормировка в вероятность допустима только при 0 < μ(Ω) < ∞.
Как применять: Назовите событие, определите пространство исходов и проверьте предположения модели: конечность, равновозможность или известные вероятности.
От простого к сложному
Проверьте себя
Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.
μ(Ω)=12 и μ(A)=3. Найдите вероятность A после нормировки.
Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.
Точка равномерна на [−2,6]. Найдите вероятность попасть в [1,3].
Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.
Aₙ возрастают, μ(Aₙ)=5−1/n. Чему равна мера объединения всех Aₙ?
Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.
Источники и соглашения
Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.