Вероятностное пространство

Из чего состоит модель

Одного перечня возможных результатов недостаточно. Для броска монеты нужно ещё указать, какие события мы рассматриваем и с какими вероятностями они наступают. Вероятностное пространство объединяет эти решения в тройку. Разные модели могут иметь одно пространство исходов, но разные вероятности.

Строгое определение

$\Omega$ — непустое множество исходов; $\mathcal F$ — сигма-алгебра его подмножеств; $P$ — вероятность на этой сигма-алгебре. Событием называют именно элемент $\mathcal F$. Пара $(\Omega,\mathcal F)$ называется измеримым пространством; чтобы получить пространство с мерой, нужно добавить меру. На конечном пространстве часто берут все подмножества, но это выбор, а не обязанность.

Один опыт — разные вопросы

При двух бросках монеты удобно использовать четыре упорядоченные пары. Если записывать только число орлов, получаем другое пространство из трёх значений. Оно не равновероятно даже при честных независимых бросках: средний результат имеет два прообраза. Переход от подробного исхода к наблюдению — основа понятия случайной величины.

Проверка модели

Для конечного пространства с полной сигма-алгеброй достаточно задать неотрицательные веса отдельных исходов с суммой 1; вероятность события является суммой его весов. Если не все исходы различимы доступной информацией, веса можно задавать атомам сигма-алгебры. В непрерывном случае равновозможность точек не позволяет применить формулу «число благоприятных / число всех».

Три примера

1. На Ω={0,1} веса 0,7 и 0,3 задают нечестную монету. P({1})=0,3, хотя исходов всего два.
2. При двух честных независимых бросках число орлов имеет веса 1/4, 1/2, 1/4 для 0,1,2. Три значения не равновероятны.
3. Для равномерного выбора на [0,2] вероятность измеримого интервала длины 0,5 равна 0,25; функция вероятности — нормированная длина.