Аксиомы Колмогорова

Договор о вероятности

Вероятностная модель не обязана быть честной монетой или конечным списком исходов. Чтобы одна и та же логика работала для кубика, времени ожидания и бесконечной последовательности наблюдений, задают вероятность на сигма-алгебре событий. Аксиомы говорят о согласованности этой функции, а не о способе получения случайных чисел.

Строгая запись

На измеримом пространстве $(\Omega,\mathcal F)$ вероятность — неотрицательная функция $P$ на $\mathcal F$, нормированная условием $P(\Omega)=1$ и счётно-аддитивная. Если события $A_n$ попарно не пересекаются, вероятность их счётного объединения равна сумме вероятностей. Слово «счётного» существенно: произвольное несчётное суммирование не входит в аксиому.

Почему появляются привычные правила

Из $\Omega=A\cup A^c$ и несовместимости частей следует $P(A^c)=1-P(A)$. Из разбиения $B=A\cup(B\setminus A)$ при $A\subset B$ получаем монотонность. Пустое событие имеет нулевую вероятность, потому что добавление пустой части не меняет целое. Это короткие доказательства следствий, а не дополнительные аксиомы.

Нулевая вероятность не всегда означает пустое множество. У равномерной точки на отрезке любая отдельная точка имеет вероятность ноль. Отрезок является несчётным объединением точек: применять к нему счётную аддитивность по всем точкам нельзя.

Три примера

1. У честной монеты сумма вероятностей двух исходов равна 1, поэтому при P(орёл)=1/2 вероятность решки также 1/2.
2. Три несовместимые альтернативы с вероятностями 0,2; 0,3; 0,5 образуют полную группу. Вероятность первых двух равна 0,5.
3. Для убывающих отрезков [0,1/n] при равномерном выборе на [0,1] вероятности равны 1/n и стремятся к нулю; пересечение — непустое одноточечное множество.