Слабый и усиленный законы больших чисел
Точные условия, при которых среднее наблюдений стабилизируется.
Перед чтением
Что вы разберёте в этой статье
Точные условия, при которых среднее наблюдений стабилизируется.
Предельные результаты описывают не одно испытание, а поведение модели при очень большом числе наблюдений. Они говорят о приближении, а не о точном равенстве для конечной выборки.
- Слабый и усиленный законы больших чисел
- convergence
- independent-variables
Под каждой формулой дана расшифровка величин и условий. Сначала определите, что известно, затем проверьте ограничения и только после этого подставляйте числа.
После теории решите три задачи: простую, среднюю и сложную. Подсказка, шаги решения и ответ открываются отдельно.
Раздел: Предельные теоремы · университетский уровень
Утверждение о среднем
Закон больших чисел объясняет, почему длинное усреднение может давать стабильный результат. Он не утверждает, что отдельные значения становятся менее случайными или что каждая новая точка графика обязательно ближе к среднему.
Две формы
Слабый закон говорит о сходимости среднего по вероятности. Усиленный — о сходимости почти наверное. Для независимых одинаково распределённых интегрируемых Xi усиленный закон даёт предел E X1; из него следует слабый. Конечная дисперсия для этой классической усиленной формы не обязательна.
Короткое доказательство частного случая
Если Xi независимы с общим средним μ и конечной дисперсией σ², дисперсия среднего равна σ²/n. Неравенство Чебышёва ограничивает вероятность ошибки ≥ε числом σ²/(nε²), которое стремится к нулю. Это доказывает слабый закон в указанном случае, но само по себе ещё не является доказательством усиленного закона.
Границы применения
Если все Xi равны одной и той же случайной величине Z, среднее всегда равно Z. При невыраженной зависимости увеличение числа записей не обязано давать новую информацию. Существуют законы для зависимых последовательностей, например стационарных эргодических, но их условия нужно проверять отдельно.
У независимых одинаково распределённых величин Коши нет конечного среднего; обычное среднее сохраняет закон Коши и не стабилизируется к конечной константе. Это не нарушение теоремы, а выход за её предпосылки.
При нуле наблюдённых попаданий частота равна нулю, однако теоретическая вероятность может быть малой и положительной. Конечный опыт не доказывает невозможность события.
Три примера
- Для независимых индикаторов успеха с p=0,3 среднее — относительная частота — почти наверное стремится к 0,3.
- Если дисперсия одного наблюдения 9, дисперсия среднего 100 независимых наблюдений равна 0,09.
- Сто копий одного и того же измерения не эквивалентны ста независимым измерениям: среднее копий не уменьшает исходную случайность.
Формула, смысл и ограничения
Главные формулы с расшифровкой
Формула словами: Классический усиленный ЗБЧ Колмогорова: Xi независимы, одинаково распределены и E|X1|<∞.
Как применять: Укажите, какая величина стремится к пределу, при каком условии растёт объём данных и в каком смысле понимается сходимость.
От формулы к наблюдению
Попробуйте самостоятельно
Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.
От простого к сложному
Проверьте себя
Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.
Xi независимы с общей дисперсией 4. Найдите дисперсию среднего 100 наблюдений.
Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.
Xi независимы с общим средним μ и общей дисперсией 1. При n=400 найдите чебышёвскую границу вероятности |среднее − μ| ≥ 0,1.
Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.
Все Xi=Z, где Z — честная Бернулли. Найдите дисперсию среднего 1000 таких Xi.
Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.
Источники и соглашения
Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.