Виды сходимости случайных величин
Траектории, вероятности ошибок, законы и средние расстояния описывают разные пределы.
Перед чтением
Что вы разберёте в этой статье
Траектории, вероятности ошибок, законы и средние расстояния описывают разные пределы.
Предельные результаты описывают не одно испытание, а поведение модели при очень большом числе наблюдений. Они говорят о приближении, а не о точном равенстве для конечной выборки.
- Виды сходимости случайных величин
- measurable-variables
- expectation-integral
Под каждой формулой дана расшифровка величин и условий. Сначала определите, что известно, затем проверьте ограничения и только после этого подставляйте числа.
После теории решите три задачи: простую, среднюю и сложную. Подсказка, шаги решения и ответ открываются отдельно.
Раздел: Предельные теоремы · университетский уровень
Что означает «становится близко»
У случайных величин есть значения на отдельных исходах, распределения и моменты. Поэтому одно слово «сходимость» без уточнения может скрывать разные утверждения. Численное сходство двух гистограмм не доказывает, что две величины близки при совместном наблюдении.
Четыре определения
Сходимость почти наверное означает, что для почти каждого исхода числовая последовательность Xn(ω) стремится к X(ω). Сходимость по вероятности требует исчезновения вероятности ошибки больше любого фиксированного ε>0. Сходимость в Lp при p>0 означает : степень относится к абсолютной ошибке внутри ожидания. Для p≥1 корень степени p задаёт обычную норму Lp. Сходимость по распределению проверяет CDF только в точках непрерывности предельной CDF.
Связи и набросок доказательства
Почти наверное влечёт по вероятности, а по вероятности — по распределению. Сходимость в Lp также влечёт по вероятности: примените неравенство Маркова к |Xn−X| в степени p. Обратные переходы без дополнительных условий в общем случае неверны. При пределе-константе сходимость по распределению эквивалентна сходимости по вероятности.
Контрпример для ожиданий
На Ω=(0,1] с равномерной вероятностью положим Xn=n на (0,1/n] и ноль в остальных точках. Для каждого ω>0 последовательность в конце концов равна нулю, поэтому Xn→0 почти наверное. Но E Xn=1 для всех n: сходимости в L1 к нулю нет. Узкий высокий всплеск исчезает по вероятности, но сохраняет площадь.
Предел ожиданий нельзя переносить через знак E только по графическому сходству. Для этого нужны дополнительные условия, например равномерная интегрируемость или интегрируемое доминирование.
Три примера
- Детерминированная последовательность Xn=1/n стремится к нулю почти наверное, по вероятности, по распределению и в каждом Lp.
- Если P(Xn=1)=1/n, то Xn→0 по вероятности: для 0<ε<1 вероятность ошибки равна 1/n.
- Для всплеска Xn=n·1(0,1/n] вероятность ошибки стремится к нулю, а E|Xn| остаётся 1. Слабость критерия зависит от того, что именно измеряется.
Формула, смысл и ограничения
Главные формулы с расшифровкой
Формула словами: Почти наверное означает сходимость траекторий вне нулевого множества; в Lp — E|Xn−X|^p→0; по распределению — сходимость CDF в точках непрерывности предельной CDF.
Как применять: Укажите, какая величина стремится к пределу, при каком условии растёт объём данных и в каком смысле понимается сходимость.
От простого к сложному
Проверьте себя
Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.
Xn=n·1{U≤1/n}, U равномерна на (0,1). Найдите E Xn при n=100.
Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.
Для того же X100 найдите P(|X100|>0,5).
Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.
E|Xn−X|²=1/n. По Маркову найдите верхнюю границу P(|Xn−X|>0,1) при n=1000.
Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.
Источники и соглашения
Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.