Ковариация и ковариационная матрица
Совместное изменение величин и разброс линейных комбинаций.
Перед чтением
Что вы разберёте в этой статье
Совместное изменение величин и разброс линейных комбинаций.
Совместная модель описывает несколько случайных величин одновременно. Она показывает, какие пары значений возможны и как знание одной величины меняет представление о другой.
- Ковариация и ковариационная матрица
- joint-distributions
- variance
Под каждой формулой дана расшифровка величин и условий. Сначала определите, что известно, затем проверьте ограничения и только после этого подставляйте числа.
После теории решите три задачи: простую, среднюю и сложную. Подсказка, шаги решения и ответ открываются отдельно.
Раздел: Совместные распределения · университетский уровень
Совместное отклонение
Если две величины часто отклоняются от своих средних в одну сторону, их ковариация положительна; если в разные стороны — отрицательна. Величина измеряется в произведении единиц X и Y, поэтому сравнивать её численный размер для разных масштабов неудобно.
Определение и вычисление
Для величин с конечными вторыми моментами ковариация равна ожиданию произведения центрированных величин. Раскрытие скобок даёт E(XY)−E X·E Y. Добавление константы к одной переменной её не меняет, а умножение переменных на a и b умножает ковариацию на ab.
Для вектора ковариации составляют матрицу. Диагональ содержит дисперсии, внедиагональные элементы — попарные ковариации. Матрица симметрична. Для любой линейной комбинации дисперсия неотрицательна, откуда следует неотрицательная определённость ковариационной матрицы.
Набросок доказательства формулы суммы
Центрируйте сумму X+Y и возведите её в квадрат. После взятия ожидания остаются два квадратичных члена и удвоенное произведение. Поэтому дисперсия суммы равна сумме дисперсий плюс удвоенная ковариация. Просто складывать дисперсии допустимо при нулевой ковариации, в частности при независимости.
Чего она не показывает
Нулевая ковариация не запрещает нелинейной зависимости. Если X симметрична относительно нуля и имеет нужные моменты, пара X и X² может иметь нулевую ковариацию, хотя вторая координата полностью задаётся первой. По одной ковариации нельзя восстановить весь совместный закон.
Три примера
- Если Y=3X+2 и Var(X)=4, то Cov(X,Y)=3·4=12.
- При Var(X)=2,Var(Y)=5,Cov(X,Y)=−1 дисперсия X+Y равна 2+5−2=5.
- Матрица с дисперсиями 1 и 1 и ковариацией 2 невозможна: дисперсия X−Y была бы 1+1−4=−2.
Формула, смысл и ограничения
Главные формулы с расшифровкой
Формула словами: Компоненты имеют конечные вторые моменты; Σij=Cov(Xi,Xj). Матрица Σ симметрична и неотрицательно определена.
Как применять: Начните с совместных вероятностей, затем суммируйте по строкам или столбцам для получения отдельных распределений.
От простого к сложному
Проверьте себя
Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.
E X=2,E Y=3,E(XY)=8. Найдите Cov(X,Y).
Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.
Var(X)=4,Var(Y)=9,Cov(X,Y)=1. Найдите Var(X+Y).
Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.
Var(X)=2,Var(Y)=3,Cov(X,Y)=1. Найдите Var(2X−Y).
Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.
Источники и соглашения
Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.