Свёртка и закон суммы
Складываем вклады всех способов получить одно значение суммы.
Перед чтением
Что вы разберёте в этой статье
Складываем вклады всех способов получить одно значение суммы.
Преобразование заменяет случайную величину новой функцией от неё. Возможные значения и вероятности нужно переносить аккуратно: разные исходные значения иногда дают один новый результат.
- Свёртка и закон суммы
- independent-variables
- distribution-transforms
Под каждой формулой дана расшифровка величин и условий. Сначала определите, что известно, затем проверьте ограничения и только после этого подставляйте числа.
После теории решите три задачи: простую, среднюю и сложную. Подсказка, шаги решения и ответ открываются отдельно.
Раздел: Преобразования · университетский уровень
Все пути к одной сумме
Сумма двух случайных величин может принимать значение s разными способами: первая равна x, вторая — s−x. Эти альтернативы складываются. Независимость позволяет заменить совместную вероятность каждой пары произведением отдельных вероятностей.
Дискретный и непрерывный случаи
Для дискретных законов получаем сумму произведений масс. При совместной плотности и независимости аналогичное интегрирование даёт свёртку плотностей. Границы интегрирования определяются пересечением носителей, а не автоматически всей формальной областью формулы плотности.
Без независимости закон суммы вычисляется из совместного закона. Подставлять произведение маргинальных плотностей тогда нельзя. Например, если Y=X, сумма равна 2X, а не сумме двух независимых копий.
Набросок вывода
Условимся на значении первой величины. Вероятность X+Y≤s при X=x равна вероятности Y≤s−x, если X и Y независимы. Усреднение по закону X даёт CDF суммы; дифференцирование при соответствующих условиях приводит к формуле плотности.
Свёртка коммутативна и ассоциативна: порядок сложения независимых слагаемых не меняет итоговый закон. Сумма независимых Бернулли с одинаковым p имеет биномиальный закон; сумма независимых пуассоновских величин имеет параметр, равный сумме параметров.
Проверка
Массы свёртки должны суммироваться к 1, а плотность — интегрироваться к 1. Ожидание суммы равно сумме ожиданий при интегрируемости даже без независимости, поэтому одна проверка среднего не подтверждает корректность всей свёртки.
Три примера
- Два независимых Бернулли с p=1/2 дают массы 1/4,1/2,1/4 для суммы 0,1,2.
- Сумма двух независимых равномерных [0,1] имеет плотность s при 0<s<1 и 2−s при 1≤s<2. Середину можно получить большим числом способов.
- Если X~Pois(2),Y~Pois(5) независимы, то X+Y~Pois(7). При Y=X это правило не применяется.
Формула, смысл и ограничения
Главные формулы с расшифровкой
Формула словами: Здесь X и Y независимы. Первая формула — для дискретных законов; вторая — при наличии плотностей.
Как применять: Найдите прообразы каждого нового значения и сложите вероятности всех исходных случаев, которые к нему приводят.
От простого к сложному
Проверьте себя
Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.
X,Y — независимые Бернулли с p=0,3. Найдите P(X+Y=0).
Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.
U,V независимы и равномерны на [0,1]. Найдите P(U+V≤1).
Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.
X — честная Бернулли, Y=X. Найдите P(X+Y=1).
Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.
Источники и соглашения
Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.