Преобразования распределений
Как найти закон функции случайной величины, не потеряв ветви и границы.
Перед чтением
Что вы разберёте в этой статье
Как найти закон функции случайной величины, не потеряв ветви и границы.
Преобразование заменяет случайную величину новой функцией от неё. Возможные значения и вероятности нужно переносить аккуратно: разные исходные значения иногда дают один новый результат.
- Преобразования распределений
- measurable-variables
- cdf
- density
Под каждой формулой дана расшифровка величин и условий. Сначала определите, что известно, затем проверьте ограничения и только после этого подставляйте числа.
После теории решите три задачи: простую, среднюю и сложную. Подсказка, шаги решения и ответ открываются отдельно.
Раздел: Преобразования · университетский уровень
Начните с события
Самый надёжный способ найти закон Y=g(X) — записать событие g(X)≤y и выразить его через X. После вычисления вероятности получаем CDF нового закона. Этот метод помогает правильно определить носитель и не требует существования плотности.
Гладкое взаимно однозначное преобразование
Если X имеет плотность, а g на носителе строго монотонна, гладка и имеет гладкую обратную функцию с ненулевой производной, плотность нового закона получается заменой переменной. Модуль производной обратной функции учитывает растяжение оси и сохраняет вероятность интервалов. Без него общая площадь обычно не равна 1.
Для Y=aX+b при a≠0 плотность равна fX((y−b)/a)/|a|. Если a=0, новая величина постоянна: возникает точечная масса, а не обычная плотность.
Несколько прообразов
Квадрат функции не является взаимно однозначным на всей прямой. Для положительного y могут быть две ветви, положительная и отрицательная; нужно учесть обе. В дискретном случае массы всех исходных значений, попавших в одно новое значение, также складываются.
Проверка результата
Укажите область определения формулы, проверьте неотрицательность и интеграл 1, а затем сравните CDF в нескольких простых точках. Плотность может быть бесконечной на отдельной границе и всё же интегрируемой. Не заменяйте такую особенность произвольным большим конечным числом в математическом утверждении.
Три примера
- U равномерна на [0,1], Y=2U+3. Носитель [3,5], плотность 1/2, поскольку растяжение вдвое уменьшает высоту вдвое.
- X равномерна на [−1,1], Y=X². Для 0≤y≤1 вероятность |X|≤√y равна √y; внутри (0,1) плотность 1/(2√y).
- Если X=−2 или 2 с вероятностями 0,4 и 0,6, то Y=X² всегда равна 4: обе исходные массы объединяются.
Формула, смысл и ограничения
Главные формулы с расшифровкой
Формула словами: Формула для Y=g(X) на монотонной гладкой ветви с корректной обратной функцией; при нескольких ветвях складывают их вклады.
Как применять: Найдите прообразы каждого нового значения и сложите вероятности всех исходных случаев, которые к нему приводят.
От простого к сложному
Проверьте себя
Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.
U равномерна на [0,1],Y=4U+1. Найдите плотность Y в точке 3.
Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.
X равномерна на [−1,1],Y=X². Найдите P(Y≤0,25).
Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.
X равномерна на [−1,1],Y=X². Найдите плотность Y при y=0,25.
Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.
Источники и соглашения
Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.