Функции, графики и преобразования
Функция задаёт правило, по которому каждому допустимому аргументу соответствует единственное значение.
Главная идея
Что нужно понять
Область определения содержит допустимые значения x, множество значений — все получающиеся значения y, а график изображает пары (x; y).
Преобразования y = f(x) + b и y = f(x − a) сдвигают график вертикально и горизонтально соответственно.
В теме «Функции, графики и преобразования» важно научиться узнавать задачу по её условиям, выбирать подходящее правило и связывать символическую запись с числовым или геометрическим смыслом. Опорная идея темы такова: Функция задаёт правило, по которому каждому допустимому аргументу соответствует единственное значение.
Полное решение на уровне 10 класса включает запись исходных данных, обоснование выбранного способа, последовательные вычисления, проверку ограничений и ответ на вопрос задачи. Ниже этот порядок показан на двух примерах.
Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.
Обоснование
Почему это работает
Функция задаёт правило соответствия: каждому допустимому x сопоставляется ровно одно y. График собирает все пары (x; f(x)), поэтому изменение формулы можно читать как геометрическое преобразование графика.
Опорная формула
Значение линейной функции получают, умножив x на коэффициент наклона k и прибавив свободный член b.
Общий вид линейной функции.Расшифровка
Обозначения и термины
- y = f(x)
- значение функции при аргументе x
- D(f)
- область допустимых аргументов
- E(f)
- множество значений функции
- k, b
- наклон и сдвиг прямой y = kx + b
Алгоритм
Как решать задачи
- найти область определения
- вычислить характерные точки
- исследовать нули, знаки и монотонность
От простого к сложному
Подробные примеры
Найдите нуль функции y = 2x − 6.
- В точке пересечения с осью x значение y равно нулю.
- Решаем 2x − 6 = 0.
Ответ: 3
Постройте y = (x − 2)² + 1 по графику y = x².
- Замена x на x − 2 сдвигает параболу на 2 вправо.
- Прибавление 1 сдвигает её на 1 вверх.
- Вершина переходит из (0; 0) в (2; 1).
Ответ: Парабола с вершиной (2; 1), ветви направлены вверх
Самопроверка
Типичные ошибки
- путать аргумент и значение
- игнорировать область определения
- сдвигать f(x − a) в неверную сторону
Закрепление материала
Мини-тест
Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.
Сколько значений функции соответствует одному допустимому аргументу?
С какого действия разумно начать работу по теме «Функции, графики и преобразования»?
Найдите нуль функции y = 2x − 6.