Лаборатория знанийАлгебра и геометрия
К программе 10 класса
Алгебра10 класс 15–20 минут3 задания

Тригонометрические уравнения

Тригонометрия связывает углы с отношениями сторон и координатами точки на единичной окружности.

Главная идея

Что нужно понять

На единичной окружности косинус угла — абсцисса точки, а синус — её ордината.

Основное тождество позволяет выразить квадрат одной функции через квадрат другой и проверять преобразования.

В теме «Тригонометрические уравнения» важно научиться узнавать задачу по её условиям, выбирать подходящее правило и связывать символическую запись с числовым или геометрическим смыслом. Опорная идея темы такова: Тригонометрия связывает углы с отношениями сторон и координатами точки на единичной окружности.

Полное решение на уровне 10 класса включает запись исходных данных, обоснование выбранного способа, последовательные вычисления, проверку ограничений и ответ на вопрос задачи. Ниже этот порядок показан на двух примерах.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

На единичной окружности cos α — абсцисса точки, а sin α — ордината. По теореме Пифагора x² + y² = 1, откуда сразу следует основное тождество sin² α + cos² α = 1.

Опорная формула

sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x+\cos^2 x=1
Формула словами

Квадрат синуса угла плюс квадрат косинуса того же угла всегда равен единице.

Основное тригонометрическое тождество.

Расшифровка

Обозначения и термины

sin α
ордината точки единичной окружности
cos α
абсцисса точки единичной окружности
tg α
отношение sin α к cos α
π рад
развёрнутый угол 180°

Алгоритм

Как решать задачи

  1. определить четверть и знак
  2. использовать подходящую формулу
  3. учесть периодичность решений

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Найдите sin x, если cos x = 3/5 и x находится в первой четверти.

  1. sin²x = 1 − 9/25 = 16/25.
  2. В первой четверти синус положителен.

Ответ: 4/5

Пример 2

Найдите cos α, если sin α = 3/5 и α — острый угол.

  1. cos² α = 1 − sin² α = 1 − 9/25.
  2. cos² α = 16/25.
  3. Для острого угла косинус положителен.

Ответ: 4/5

Самопроверка

Типичные ошибки

  • терять знак при извлечении корня
  • смешивать градусы и радианы
  • забывать периодичность

Закрепление материала

Мини-тест

Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.

  1. Задание 1

    Какой координате точки единичной окружности соответствует косинус?

  2. Задание 2

    С какого действия разумно начать работу по теме «Тригонометрические уравнения»?

  3. Задание 3

    Найдите sin x, если cos x = 3/5 и x находится в первой четверти.