Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства
Неравенство описывает не одно значение, а множество значений, удовлетворяющих условию.
Главная идея
Что нужно понять
Решение неравенства — любое значение переменной, при котором сравнение становится верным.
При умножении или делении обеих частей на отрицательное число знак неравенства обязательно меняют на противоположный.
В теме «Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства» важно научиться узнавать задачу по её условиям, выбирать подходящее правило и связывать символическую запись с числовым или геометрическим смыслом. Опорная идея темы такова: Неравенство описывает не одно значение, а множество значений, удовлетворяющих условию.
Полное решение на уровне 10 класса включает запись исходных данных, обоснование выбранного способа, последовательные вычисления, проверку ограничений и ответ на вопрос задачи. Ниже этот порядок показан на двух примерах.
Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.
Обоснование
Почему это работает
Неравенство описывает не одно значение, а множество. При умножении на отрицательное число порядок меняется: если a < b, то после отражения точек относительно нуля число −a окажется правее −b.
Опорная формула
Если a меньше b, то после умножения обоих чисел на минус один знак меняется: минус a становится больше минус b.
Изменение направления неравенства при умножении на −1.Расшифровка
Обозначения и термины
- <, >
- строгое сравнение; граница не входит
- ≤, ≥
- нестрогое сравнение; граница входит
- (a; b)
- открытый промежуток
- [a; b]
- отрезок с включёнными концами
Алгоритм
Как решать задачи
- перенести выражения в одну часть
- найти граничные точки
- определить знаки на промежутках
От простого к сложному
Подробные примеры
Решите −2x > 6.
- Делим обе части на −2.
- Меняем знак неравенства на противоположный.
Ответ: x < −3
Решите −3x + 4 ≥ 10.
- Переносим 4: −3x ≥ 6.
- Делим на −3 и меняем знак неравенства.
- Получаем x ≤ −2.
Ответ: (−∞; −2]
Самопроверка
Типичные ошибки
- не менять знак при делении на отрицательное число
- записывать только границы без промежутка
- включать точку при строгом знаке
Закрепление материала
Мини-тест
Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.
Что происходит со знаком неравенства при делении на отрицательное число?
С какого действия разумно начать работу по теме «Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства»?
Решите −2x > 6.