Лаборатория знанийАлгебра и геометрия
К программе 9 класса
Алгебра9 класс 15–20 минут3 задания

Квадратные и рациональные неравенства

Квадратные зависимости возникают, когда переменная входит во второй степени; их график — парабола.

Главная идея

Что нужно понять

Квадратное уравнение имеет вид ax² + bx + c = 0 при a ≠ 0. Число корней определяет дискриминант.

После вычисления дискриминанта используют формулу корней; найденные значения полезно проверить подстановкой.

В теме «Квадратные и рациональные неравенства» важно научиться узнавать задачу по её условиям, выбирать подходящее правило и связывать символическую запись с числовым или геометрическим смыслом. Опорная идея темы такова: Квадратные зависимости возникают, когда переменная входит во второй степени; их график — парабола.

Полное решение на уровне 9 класса включает запись исходных данных, обоснование выбранного способа, последовательные вычисления, проверку ограничений и ответ на вопрос задачи. Ниже этот порядок показан на двух примерах.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Полный квадрат ax² + bx + c можно преобразовать так, чтобы отдельно увидеть квадрат выражения и постоянную часть. Дискриминант возникает при этом преобразовании и показывает, пересекает ли парабола ось Ox в двух, одной или ни одной точке.

Опорная формула

D=b2−4ac,x1,2=−b±D2aD=b^2-4ac,\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}
Формула словами

Сначала из квадрата b вычитают четыре произведения a и c — это дискриминант. Корни получают, разделив минус b плюс или минус корень из дискриминанта на два a.

Дискриминант и формула корней квадратного уравнения.

Расшифровка

Обозначения и термины

a, b, c
коэффициенты квадратного уравнения, a ≠ 0
D
дискриминант b² − 4ac
x₁, x₂
корни уравнения
(x₀; y₀)
координаты вершины параболы

Алгоритм

Как решать задачи

  1. привести уравнение к стандартному виду
  2. найти дискриминант
  3. вычислить и проверить корни

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Решите x² − 5x + 6 = 0.

  1. D = 25 − 24 = 1.
  2. x = (5 ± 1)/2.

Ответ: 2 и 3

Пример 2

Решите 2x² + x − 3 = 0.

  1. D = 1² − 4 · 2 · (−3) = 25.
  2. x = (−1 ± 5)/4.
  3. Получаем x₁ = 1, x₂ = −3/2.

Ответ: 1; −3/2

Самопроверка

Типичные ошибки

  • терять знак коэффициента b
  • делить только часть числителя на 2a
  • забывать условие a ≠ 0

Закрепление материала

Мини-тест

Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.

  1. Задание 1

    Как выглядит график квадратичной функции?

  2. Задание 2

    С какого действия разумно начать работу по теме «Квадратные и рациональные неравенства»?

  3. Задание 3

    Решите x² − 5x + 6 = 0.