Арифметическая и геометрическая прогрессии
Последовательность описывает упорядоченный набор чисел, а прогрессии задают важные модели линейного и экспоненциального изменения.
Главная идея
Что нужно понять
В арифметической прогрессии соседние члены отличаются на постоянную величину d; в геометрической — отношение соседних членов равно q.
Формула n-го члена позволяет найти любой элемент без выписывания всей последовательности.
В теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии» важно научиться узнавать задачу по её условиям, выбирать подходящее правило и связывать символическую запись с числовым или геометрическим смыслом. Опорная идея темы такова: Последовательность описывает упорядоченный набор чисел, а прогрессии задают важные модели линейного и экспоненциального изменения.
Полное решение на уровне 9 класса включает запись исходных данных, обоснование выбранного способа, последовательные вычисления, проверку ограничений и ответ на вопрос задачи. Ниже этот порядок показан на двух примерах.
Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.
Обоснование
Почему это работает
Последовательность — функция, заданная на натуральных номерах. В арифметической прогрессии постоянно приращение, а в геометрической — отношение соседних членов. Это позволяет перейти от пошагового вычисления к формуле n-го члена.
Опорная формула
Член арифметической прогрессии с номером n равен первому члену плюс n минус один разностей прогрессии.
Формула n-го члена арифметической прогрессии.Расшифровка
Обозначения и термины
- aₙ
- член последовательности с номером n
- d
- разность арифметической прогрессии
- q
- знаменатель геометрической прогрессии
- Sₙ
- сумма первых n членов
Алгоритм
Как решать задачи
- определить вид последовательности
- найти первый член и разность или знаменатель
- подставить номер в формулу
От простого к сложному
Подробные примеры
Найдите десятый член прогрессии 3, 7, 11, …
- Это арифметическая прогрессия с a₁ = 3 и d = 4.
- a₁₀ = 3 + 9 · 4.
Ответ: 39
Найдите 8-й член прогрессии 5, 8, 11, …
- Это арифметическая прогрессия с d = 3.
- a₈ = a₁ + 7d.
- a₈ = 5 + 7 · 3.
Ответ: 26
Самопроверка
Типичные ошибки
- использовать n вместо n − 1
- путать разность со знаменателем
- округлять денежные значения слишком рано
Закрепление материала
Мини-тест
Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.
Что постоянно в арифметической прогрессии?
С какого действия разумно начать работу по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии»?
Найдите десятый член прогрессии 3, 7, 11, …