Лаборатория знанийАлгебра и геометрия
К программе 9 класса
Алгебра9 класс 15–20 минут3 задания

Проценты, вклады и сложный процент

Последовательность описывает упорядоченный набор чисел, а прогрессии задают важные модели линейного и экспоненциального изменения.

Главная идея

Что нужно понять

В арифметической прогрессии соседние члены отличаются на постоянную величину d; в геометрической — отношение соседних членов равно q.

Формула n-го члена позволяет найти любой элемент без выписывания всей последовательности.

При простом проценте прибавка каждый раз считается от начальной суммы, а при сложном — от уже выросшей. Поэтому повторное начисление описывается степенью: Sₙ = S₀(1 + p/100)ⁿ.

Если происходит уменьшение на p процентов, множитель равен 1 − p/100. Несколько последовательных изменений нельзя просто складывать: нужно перемножать коэффициенты.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Последовательность — функция, заданная на натуральных номерах. В арифметической прогрессии постоянно приращение, а в геометрической — отношение соседних членов. Это позволяет перейти от пошагового вычисления к формуле n-го члена.

Опорная формула

an=a1+(n−1)da_n=a_1+(n-1)d
Формула словами

Член арифметической прогрессии с номером n равен первому члену плюс n минус один разностей прогрессии.

Формула n-го члена арифметической прогрессии.

Расшифровка

Обозначения и термины

aₙ
член последовательности с номером n
d
разность арифметической прогрессии
q
знаменатель геометрической прогрессии
Sₙ
сумма первых n членов

Алгоритм

Как решать задачи

  1. определить вид последовательности
  2. найти первый член и разность или знаменатель
  3. подставить номер в формулу

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Найдите десятый член прогрессии 3, 7, 11, …

  1. Это арифметическая прогрессия с a₁ = 3 и d = 4.
  2. a₁₀ = 3 + 9 · 4.

Ответ: 39

Пример 2

Найдите 8-й член прогрессии 5, 8, 11, …

  1. Это арифметическая прогрессия с d = 3.
  2. a₈ = a₁ + 7d.
  3. a₈ = 5 + 7 · 3.

Ответ: 26

Самопроверка

Типичные ошибки

  • использовать n вместо n − 1
  • путать разность со знаменателем
  • округлять денежные значения слишком рано

Закрепление материала

Мини-тест

Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.

  1. Задание 1

    Что постоянно в арифметической прогрессии?

  2. Задание 2

    С какого действия разумно начать работу по теме «Проценты, вклады и сложный процент»?

  3. Задание 3

    Найдите десятый член прогрессии 3, 7, 11, …