Лаборатория знанийАлгебра и геометрия
К программе 9 класса
Геометрия9 классУглублённый уровень 15–20 минут3 задания

Формула Герона и дополнительные формулы площади

Вычислительная геометрия связывает стороны, углы и площади треугольника с помощью теорем и тригонометрии.

Главная идея

Что нужно понять

В прямоугольном треугольнике гипотенуза лежит напротив прямого угла, а катеты образуют этот угол.

Теорема Пифагора связывает квадраты сторон прямоугольного треугольника.

Формула Герона S = √(p(p−a)(p−b)(p−c)) находит площадь по трём сторонам. Перед вычислением проверяют неравенство треугольника и находят полупериметр p = (a+b+c)/2.

Подкоренное выражение неотрицательно именно для сторон существующего треугольника; нулевое значение соответствует вырожденной фигуре.

Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.

Обоснование

Почему это работает

Высота разбивает многие задачи о треугольнике на прямоугольные треугольники. Теоремы синусов и косинусов обобщают эту идею и связывают стороны с углами без обязательного построения высоты.

Опорная формула

a2+b2=c2a^2+b^2=c^2
Формула словами

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов двух катетов равна квадрату гипотенузы.

Теорема Пифагора для катетов a, b и гипотенузы c.

Расшифровка

Обозначения и термины

a, b, c
стороны напротив углов A, B, C
h
высота
p
полупериметр
S
площадь треугольника

Алгоритм

Как решать задачи

  1. определить известные стороны и углы
  2. выбрать теорему или тригонометрическое отношение
  3. решить уравнение и проверить неравенство треугольника

От простого к сложному

Подробные примеры

Пример 1

Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите гипотенузу.

  1. c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100.
  2. Длина положительна, поэтому c = 10.

Ответ: 10

Пример 2

Найдите гипотенузу при катетах 5 и 12.

  1. По Пифагору c² = 5² + 12².
  2. c² = 25 + 144 = 169.
  3. Берём положительный корень: c = 13.

Ответ: 13

Самопроверка

Типичные ошибки

  • принимать любой треугольник за прямоугольный
  • путать гипотенузу с катетом
  • терять квадратный корень

Закрепление материала

Мини-тест

Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.

  1. Задание 1

    Какая сторона лежит напротив прямого угла?

  2. Задание 2

    С какого действия разумно начать работу по теме «Формула Герона и дополнительные формулы площади»?

  3. Задание 3

    Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите гипотенузу.