Теоремы Чевы и Менелая
Теоремы Чевы и Менелая связывают отношения отрезков на сторонах треугольника с конкурентностью и коллинеарностью прямых.
Главная идея
Что нужно понять
Теорема Чевы проверяет, пересекаются ли три cevianы в одной точке; теорема Менелая — лежат ли три точки на одной прямой.
Перед применением важно выбрать согласованные отношения направленных или ненаправленных отрезков и не менять порядок множителей.
В теме «Теоремы Чевы и Менелая» важно научиться узнавать задачу по её условиям, выбирать подходящее правило и связывать символическую запись с числовым или геометрическим смыслом. Опорная идея темы такова: Теоремы Чевы и Менелая связывают отношения отрезков на сторонах треугольника с конкурентностью и коллинеарностью прямых.
Полное решение на уровне 9 класса включает запись исходных данных, обоснование выбранного способа, последовательные вычисления, проверку ограничений и ответ на вопрос задачи. Ниже этот порядок показан на двух примерах.
Не заучивайте запись отдельно от смысла: проговорите, что означает каждая величина и почему выбранное правило можно применить именно здесь.
Обоснование
Почему это работает
Теоремы Чевы и Менелая заменяют сложную конфигурацию одним произведением отношений на сторонах треугольника. Чева распознаёт пересечение трёх отрезков в одной точке, Менелай — расположение трёх точек на одной прямой.
Опорная формула
По теореме Чевы произведение трёх отношений, на которые чевианы делят стороны треугольника, равно единице.
Мультипликативное условие теоремы Чевы.Расшифровка
Обозначения и термины
- AD, BE, CF
- чевианы треугольника
- AF/FB
- отношение частей стороны AB
- = 1
- критерий теоремы Чевы
- коллинеарны
- лежат на одной прямой
Алгоритм
Как решать задачи
- обозначить точки на сторонах
- записать отношения в согласованном порядке
- проверить произведение и сформулировать вывод
От простого к сложному
Подробные примеры
Три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Какое произведение отношений даёт теорема Чевы?
- Каждая медиана делит противоположную сторону пополам.
- Каждое отношение равно 1, поэтому произведение равно 1.
Ответ: 1
В треугольнике AF/FB = 2, BD/DC = 3. Найдите CE/EA, чтобы чевианы пересеклись в одной точке.
- По Чеве произведение трёх отношений равно 1.
- 2 · 3 · CE/EA = 1.
- CE/EA = 1/6.
Ответ: 1/6
Самопроверка
Типичные ошибки
- переворачивать одно отношение
- смешивать Чеву и Менелая
- не учитывать продолжения сторон
Закрепление материала
Мини-тест
Ответы и объяснения скрыты до завершения. Выберите по одному ответу в каждом задании.
Что проверяет теорема Чевы?
С какого действия разумно начать работу по теме «Теоремы Чевы и Менелая»?
Три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Какое произведение отношений даёт теорема Чевы?