Школьный6 минут3 задачи с решениями

Диаграмма рассеивания

Как читать пары наблюдений, различать линейные и нелинейные связи и не путать связь с причиной.

Перед чтением

Что вы разберёте в этой статье

Как читать пары наблюдений, различать линейные и нелинейные связи и не путать связь с причиной.

Простыми словами

Статистика сжимает набор наблюдений до нескольких понятных характеристик. Среднее описывает общий уровень, показатели разброса — насколько сильно значения отличаются друг от друга.

Основные понятия

диаграмма рассеивания
связь
корреляция

Как читать формулы

Под каждой формулой дана расшифровка величин и условий. Сначала определите, что известно, затем проверьте ограничения и только после этого подставляйте числа.

Как закрепить

После теории решите три задачи: простую, среднюю и сложную. Подсказка, шаги решения и ответ открываются отдельно.

Раздел: Статистика и данные · школьная привязка: 8, 10 класс

Одна точка — один объект

Диаграмма рассеивания отображает пары числовых признаков: значение первого по горизонтали, второго по вертикали. Каждая точка должна сохранять соответствие данных одного объекта. Если отдельно отсортировать рост и массу, исходная связь будет уничтожена или искусственно создана.

На рисунке ищут направление связи, форму, группы, отдельные необычные точки и изменение разброса. Облако, поднимающееся слева направо, указывает на положительную наблюдаемую связь; опускающееся — на отрицательную. Кривая или U-образная форма может показывать сильную нелинейную связь даже без выраженного линейного наклона.

Что означает связь

Наблюдаемая связь помогает строить гипотезы и прогнозы, но не доказывает причинность. Оба признака могут зависеть от третьего, а отбор объектов способен исказить картину. При сравнении графиков важно смотреть на числа и единицы осей: изменение масштаба меняет визуальный угол, не меняя сами данные.

Три примера

Точки $(1,2),(2,4),(3,6)$ лежат на прямой $y=2x$ . В этом маленьком наборе каждому увеличению $x$ на 1 соответствует рост $y$ на 2.
Точки $(1,6),(2,4),(3,2)$ показывают отрицательную линейную связь: $y=8-2x$ . Уменьшение одного признака не делает наблюдения «плохими».
Точки $(-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4)$ лежат на параболе. Линейная корреляция здесь нулевая, однако зависимость точная: $y=x^2$ . Отсутствие линейного тренда не означает отсутствия связи.

Частые ошибки

Не соединяйте точки линией без смысла порядка: номер строки таблицы обычно не является траекторией. Не продолжайте обнаруженную тенденцию далеко за пределы наблюдавшегося диапазона без обоснования. Совпадающие точки могут скрывать несколько объектов, поэтому иногда нужны прозрачность, размеры или числовые подписи.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

(x_i,y_i),\qquad i=1,\ldots,n

Формула словами: Одна точка — два признака одного и того же объекта, а не независимо отсортированные столбцы.

Как применять: Уточните объём набора, единицы измерения и вид характеристики; не смешивайте сумму значений, среднее и отклонения от среднего.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Корреляция и регрессия

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Простой

На диаграмме точка имеет координаты (3,7). Чему равно значение второго признака?

Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.

Средний

В наборе точки (1,3), (2,5), (3,7) лежат на прямой. На сколько увеличивается y при росте x на 1?

Сложный

Точки (−2,4), (−1,1), (0,0), (1,1), (2,4) заданы правилом y=x². Сколько точек имеют y>1?

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.