Библиотека распределений · Теория и эксперимент

Распределение Бернулли

Индикатор одного события: два значения, среднее, разброс и переход к серии испытаний.

Параметры модели

Бернулли

Дискретное

X = 1 означает успех, X = 0 — неуспех.

P(X=k)=p^k(1-p)^{1-k},\quad k=0,1

Пределы полей — вычислительные ограничения исследователя, а не область существования математического закона. Носитель: целые значения в [0; 1].

Форма распределения

Высота столбика — вероятность ровно одного целого значения. Сумма всех вероятностей на полном носителе равна 1.

За пределами окна: слева 0 %, справа 0 %. Ось ограничена окном, но CDF, интервалы и генератор используют весь носитель. По умолчанию окно берётся по квантилям 0,005 и 0,995; для конечного непрерывного носителя — весь носитель. Дискретный график ограничен 200 значениями.

Числовая таблица графика (2 точек)

x	P(X=x)
0	0,6
1	0,4

Точка и интервал

Точка xИнтервал: левая границаИнтервал: правая граница

P(X = 0): 60 %
P(X ≤ 0): 60 %
P(X > 0): 40 %
P(0 ≤ X ≤ 1): 100 %

Границы интервала включены. Для дискретного закона учитываются только целые точки внутри него; для непрерывного включение концов не меняет вероятность.

Что предсказывает модель

Математическое ожидание E(X): 0,4
Дисперсия D(X): 0,24

Ожидание — характеристика распределения, а не обещанный результат одного опыта. Конечная выборка имеет своё среднее даже тогда, когда теоретическое среднее не существует.

CDF и правый хвост вычисляются отдельно, чтобы сохранять малые вероятности. Значения ниже предела чисел двойной точности могут округляться до 0; квантили у границ также ограничены машинной точностью.

От модели к данным

Сгенерировать выборку

До 100 000 наблюдений

Независимые псевдослучайные наблюдения в отдельном рабочем потоке. Один seed и те же параметры воспроизводят тот же ряд. Это учебный, не криптографический генератор.

Размер выборкиSeed · начальное состояние

Выборка ещё не создана.

Перед чтением

Что вы разберёте в этой статье

Индикатор одного события: два значения, среднее, разброс и переход к серии испытаний.

Простыми словами

Распределение — полный закон случайной величины: какие значения она принимает и с какими вероятностями. Параметры распределения имеют конкретный смысл и не являются произвольными буквами.

Основные понятия

Бернулли
индикатор
успех
два исхода

Как читать формулы

Под каждой формулой дана расшифровка величин и условий. Сначала определите, что известно, затем проверьте ограничения и только после этого подставляйте числа.

Как закрепить

После теории решите три задачи: простую, среднюю и сложную. Подсказка, шаги решения и ответ открываются отдельно.

Раздел: Распределения · университетский уровень

Один вопрос с ответом «да» или «нет»

Пусть в опыте нас интересует событие A: заказ доставлен вовремя, семя проросло, выпал орёл. Запишем X = 1, когда A произошло, и X = 0 в противоположном случае. Полученная величина называется индикатором события и имеет распределение Бернулли с параметром $p=P(A)$ .

У самого опыта может быть много исходов. Например, у кубика их шесть, но индикатор «выпало чётное» всё равно принимает только два значения. Слово «успех» обозначает выбранное событие, а не обязательно что-то хорошее.

Параметр и закон

Допускается $0\le p\le1$ . При p = 0 величина всегда нулевая, при p = 1 — всегда единица: это корректные вырожденные законы. Для остальных p две массы равны 1 − p и p. Формулу со степенями удобнее применять внутри 0 < p < 1; на концах следует прямо пользоваться двумя вероятностями, не споря об обозначении нулевой степени.

Функция распределения равна 0 при x < 0, затем 1 − p при $0\le x<1$ , затем 1. Между 0 и 1 нет дополнительных исходов: горизонтальная часть CDF не означает положительной вероятности дробного результата.

Почему среднее равно p

По определению среднего складываем значение, умноженное на его вероятность: $0(1-p)+1p=p$ . Также $X^2=X$ , поэтому второй момент равен p и дисперсия равна $p-p^2$ . Разброс максимален при p = 1/2, а в вырожденных случаях исчезает.

Три примера

Индикатор чётного числа. На честном кубике чётные 2, 4, 6 составляют три из шести исходов. Значит, p = 1/2, P(X = 0) = 1/2, среднее 1/2 и дисперсия 1/4. Ответ X = 1/2 в отдельном опыте невозможен: среднее не обязано принадлежать носителю.
Проверка одного изделия. Вероятность дефекта по условной модели равна 0,08. Если успехом назван именно дефект, то P(X = 1) = 0,08, P(X = 0) = 0,92. Дисперсия равна 0,08 · 0,92 = 0,0736. Переназвав успехом годность, получим параметр 0,92, но тот же разброс.
Награда за событие. Выплата Y равна 50X − 10, где p = 0,3. При успехе выплачивается 40, иначе −10. Линейность даёт E(Y) = 50 · 0,3 − 10 = 5. Дисперсия равна 50² · 0,3 · 0,7 = 525: добавление постоянной меняет среднее, но не разброс.

Условия и типичные ошибки

Для одного индикатора не требуется говорить о независимости: сравнивать пока не с чем. Независимость становится существенной, когда складывают несколько индикаторов и хотят получить биномиальное распределение. Одинаковые отдельные вероятности ещё не гарантируют независимости.

В исследователе измените p от 0 до 1. Масса перемещается между двумя столбиками, а не проходит через промежуточные значения X. Затем с одним seed создайте выборку: её среднее совпадает с долей единиц. Повторите опыт с другим seed и сравните отклонение частоты от p. Модель задаёт вероятность; короткая серия не обязана воспроизводить её точно.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

P(X=1)=p,\quad P(X=0)=1-p

Формула словами: Вероятности индикатора; 0 ≤ p ≤ 1.

Как применять: Определите тип случайной величины, смысл параметров и область допустимых значений перед вычислением вероятности.

\mathbb E X=p,\quad \operatorname{Var}(X)=p(1-p)

Формула словами: Среднее и дисперсия одного индикатора.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Лаборатория: Монета Вероятность события

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Простой

Для X ~ Bernoulli(0,2) найдите P(X = 0).

Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.

Средний

Индикатор X имеет p = 0,4. Найдите его дисперсию.

Сложный

X ~ Bernoulli(0,25), Y = 12X + 3. Найдите D(Y).

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.

NIST: Binomial Distribution — случай n = 1 (откроется в новой вкладке)