Распределения · Дискретная модель

Сколько будет успехов?

Биномиальное распределение описывает число успехов в n независимых испытаниях, если вероятность успеха p одинакова в каждом из них.

НАСТРОЙТЕ МОДЕЛЬ

Изменяйте. Наблюдайте.

Каждый столбик — возможное число успехов. Форма распределения меняется вместе с параметрами.

Число испытаний n10

1 испытание100 испытаний

Вероятность успеха p0,5

Число успехов k5

0 успехов10 успехов

Какое событие рассматриваем?Ровно k успехов P(X = k)Не более k успехов P(X ≤ k)

Условия модели

n независимых испытаний, в каждом два исхода. Вероятность успеха p остаётся одной и той же.

БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

X ∼ Bin(10; 0,5)

Вероятности отдельных значений P(X = x)

Выделено: ровно 5 успехов

Сумма высот всех столбиков равна 1. Для события «не более k» складываются вероятности столбиков от 0 до k.

P(X = 5)24,6094 %Вероятность выбранного события

Математическое ожидание5E[X] = np

Дисперсия2,5Var(X) = np(1 − p)

ЗА ГРАФИКОМ — ФОРМУЛА

P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}

В среднем ожидаем 5 успехов за 10 испытаний. Это среднее при многократном повторении всей серии; в отдельной серии X принимает только целые значения.

Рассчитать по шагам Разобраться в теории

Таблица вероятностей 11 значений

Числа округлены до 8 знаков. Таблица — текстовая альтернатива графику.

Биномиальное распределение: n = 10, p = 0,5
Число успехов x	P(X = x)	P(X ≤ x)
0	0,00097656	0,00097656
1	0,00976562	0,01074219
2	0,04394531	0,0546875
3	0,1171875	0,171875
4	0,20507813	0,37695313
5 ← k	0,24609375	0,62304688
6	0,20507813	0,828125
7	0,1171875	0,9453125
8	0,04394531	0,98925781
9	0,00976562	0,99902344
10	0,00097656	1

Независимость испытаний и постоянная вероятность p — условия модели. При выборе без возвращения из маленькой совокупности эта модель, как правило, не подходит.

Расширенный исследователь: интервалы и выборка до 100 000 наблюдений

Параметры модели

Биномиальное

Дискретное

n независимых испытаний с постоянной вероятностью успеха p. n = 0 разрешено.

P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}

Пределы полей — вычислительные ограничения исследователя, а не область существования математического закона. Носитель: целые значения в [0; 10].

Форма распределения

Высота столбика — вероятность ровно одного целого значения. Сумма всех вероятностей на полном носителе равна 1.

За пределами окна: слева 0,097656 %, справа 0,097656 %. Ось ограничена окном, но CDF, интервалы и генератор используют весь носитель. По умолчанию окно берётся по квантилям 0,005 и 0,995; для конечного непрерывного носителя — весь носитель. Дискретный график ограничен 200 значениями.

Числовая таблица графика (9 точек)

x	P(X=x)
1	0,009766
2	0,043945
3	0,117188
4	0,205078
5	0,246094
6	0,205078
7	0,117188
8	0,043945
9	0,009766

Точка и интервал

Точка xИнтервал: левая границаИнтервал: правая граница

P(X = 5): 24,609375 %
P(X ≤ 5): 62,304688 %
P(X > 5): 37,695313 %
P(1 ≤ X ≤ 9): 99,804688 %

Границы интервала включены. Для дискретного закона учитываются только целые точки внутри него; для непрерывного включение концов не меняет вероятность.

Что предсказывает модель

Математическое ожидание E(X): 5
Дисперсия D(X): 2,5

Ожидание — характеристика распределения, а не обещанный результат одного опыта. Конечная выборка имеет своё среднее даже тогда, когда теоретическое среднее не существует.

CDF и правый хвост вычисляются отдельно, чтобы сохранять малые вероятности. Значения ниже предела чисел двойной точности могут округляться до 0; квантили у границ также ограничены машинной точностью.

От модели к данным

Сгенерировать выборку

До 100 000 наблюдений

Независимые псевдослучайные наблюдения в отдельном рабочем потоке. Один seed и те же параметры воспроизводят тот же ряд. Это учебный, не криптографический генератор.

Размер выборкиSeed · начальное состояние

Выборка ещё не создана.

Перед чтением

Что вы разберёте в этой статье

Число успехов в независимой серии с постоянной вероятностью: точные массы, хвосты и моменты.

Простыми словами

Распределение — полный закон случайной величины: какие значения она принимает и с какими вероятностями. Параметры распределения имеют конкретный смысл и не являются произвольными буквами.

Основные понятия

биномиальное
схема Бернулли
число успехов

Как читать формулы

Под каждой формулой дана расшифровка величин и условий. Сначала определите, что известно, затем проверьте ограничения и только после этого подставляйте числа.

Как закрепить

После теории решите три задачи: простую, среднюю и сложную. Подсказка, шаги решения и ответ открываются отдельно.

Раздел: Распределения · университетский уровень

От одного опыта к числу успехов

Выполняются n испытаний. В каждом есть выбранное событие — успех, вероятность которого равна p. Пусть X считает общее число успехов. Если испытания независимы и вероятность p одинакова, X имеет биномиальное распределение Bin(n,p).

Параметр n — не число успехов, а заранее заданная длина серии. Значение k — конкретный результат, для которого ищем вероятность. Возможны целые k от 0 до n. Модель допускает n = 0: пустая серия содержит ноль успехов.

Откуда берётся формула

Одна последовательность с k успехами и n − k неудачами имеет вероятность $p^k(1-p)^{n-k}$ . Выбрать места k успехов можно $\binom nk$ способами. Эти последовательности несовместны; суммируя их вероятности, получаем биномиальную формулу.

При p = 0 все наблюдения равны 0, при p = 1 — n. Исследователь обрабатывает эти случаи прямо. Внутри интервала 0 < p < 1 сумма всех n + 1 масс равна 1 по биному Ньютона.

Накопленная вероятность и среднее

CDF в точке x суммирует массы до целой части x включительно. Вопрос «не меньше k» соответствует $1-P(X\le k-1)$ , а не $1-P(X\le k)$ . Это различие особенно важно для небольших n, когда одна масса велика.

Величина X — сумма n индикаторов. Линейность ожидания даёт np. Независимость обнуляет попарные ковариации и даёт дисперсию np(1 − p). Для среднего индикаторов X/n при n > 0 дисперсия уменьшается до p(1 − p)/n.

Три примера

Четыре монеты. Для четырёх независимых честных бросков n = 4, p = 1/2. Ровно два орла имеют вероятность C(4,2)/16 = 6/16 = 0,375. Шесть учитываемых порядков различны, хотя итоговое число орлов у них одинаково.
Хотя бы один ответ. Независимая попытка удачна с вероятностью 0,2. За три попытки проще исключить три неудачи: P(X ≥ 1) = 1 − 0,8³ = 0,488. Неверно складывать три вероятности 0,2 без поправки: события успехов разных попыток могут происходить совместно.
Контроль большой серии. В 100 независимых испытаниях p = 0,3. Получаем E(X) = 30, D(X) = 21 и стандартное отклонение около 4,5826. Это характеристики модели, а не гарантия результата от 25 до 35. Точный шанс нужного интервала получают суммой биномиальных масс, а нормальная аппроксимация требует отдельной проверки условий.

Когда закон не подходит

Если из урны достают без возвращения значимую часть содержимого, вероятности меняются после каждого извлечения, а индикаторы зависимы. Здесь нужен гипергеометрический закон. Если независимость есть, но у каждого испытания своё p, сумма в общем случае имеет пуассон-биномиальное, не обычное биномиальное распределение.

В верхнем инструменте удобно двигать n, p и k, сравнивая PMF с CDF. В расширенном исследователе ниже можно запросить произвольный интервал и получить воспроизводимую выборку. Генерируемые серии используют полный закон: ограниченное окно графика не отбрасывает хвосты.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}

Формула словами: Для целых 0 ≤ k ≤ n; вне носителя вероятность 0.

Как применять: Определите тип случайной величины, смысл параметров и область допустимых значений перед вычислением вероятности.

\mathbb E X=np,\quad \operatorname{Var}(X)=np(1-p)

Формула словами: n независимых одинаково распределённых индикаторов.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Лаборатория: Монета Лаборатория: Схема Бернулли Формула Бернулли Хотя бы один успех Биномиальные вероятности

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Простой

Честную монету бросили 3 раза независимо. Найдите вероятность ровно 2 орлов.

Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.

Средний

X ~ Bin(10,0,2). Найдите D(X).

Сложный

В 4 независимых попытках p = 0,5. Найдите P(1 ≤ X ≤ 3).

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.

NIST: Binomial Distribution (откроется в новой вкладке)