Нормальное распределение

Колокол с двумя параметрами

Нормальная модель описывает непрерывную величину на всей числовой прямой. Параметр μ сдвигает центр, положительный σ регулирует ширину. В исследователе σ означает стандартное отклонение, а не дисперсию: дисперсия равна σ².

Обозначение $N(\mu,\sigma^2)$ удобно тем, что второй аргумент сразу показывает дисперсию. Некоторые программы используют пару mean, sd. При переносе параметров обязательно проверьте соглашение, иначе ширина кривой изменится ошибочно.

Площадь и стандартизация

Высота нормальной кривой — плотность. Вероятность попасть в интервал равна площади под ней; шанс получить одно заранее указанное вещественное значение равен нулю. Носитель бесконечен в обе стороны, поэтому нарисованный график всегда показывает только окно.

Для расчётов переходят к $Z=(X-\mu)/\sigma$. Тогда Z имеет стандартный нормальный закон с центром 0 и σ = 1. Если Φ — его CDF, вероятность [a,b] равна $\Phi((b-\mu)/\sigma)-\Phi((a-\mu)/\sigma)$. В очень правом хвосте исследователь вычитает малые хвосты, а не два числа, округлённые к единице.

Три примера

1. Симметрия центра. Для N(10,4), где второй параметр — дисперсия, σ = 2. Половина площади находится левее 10, поэтому P(X ≤ 10) = 0,5. Плотность в центре равна 1/(2√(2π)) ≈ 0,199471, что не равно вероятности самой точки.

2. Одна сигма от центра. Пусть μ = 100, σ = 15. Интервал [85,115] превращается в [−1,1]. Его вероятность приблизительно 0,682689. Это свойство нормальной модели; для произвольного распределения правило 68 % не гарантировано.

3. Высокий порог. При μ = 50, σ = 5 порог 60 соответствует z = 2. Вероятность превысить его равна 1 − Φ(2) ≈ 0,0227501. Для двустороннего выхода за [40,60] по симметрии берём оба хвоста: примерно 0,0455003, а не один.

Почему нормальность не универсальна

Суммы большого числа слабых независимых вкладов часто допускают нормальное приближение при подходящих условиях центральной предельной теоремы. Но положительные, сильно асимметричные или тяжёлохвостые данные могут существенно отличаться от колокола. Похожая гистограмма короткой выборки ещё не доказывает закон.

Нормальный носитель включает отрицательные значения. Для времени ожидания или небольших счётчиков это бывает неприемлемо: даже малая отрицательная вероятность может противоречить смыслу. Следует оценивать пригодность модели, а не выбирать нормальность по привычке.

Эксперимент и хвосты

Измените σ при фиксированном μ: максимум PDF уменьшается, а кривая расширяется, сохраняя площадь 1. Затем включите CDF: её крутизна в центре изменится, но диапазон останется от 0 до 1. Сгенерируйте выборку и сравните эмпирические среднее и дисперсию с μ и σ².

Автоматический масштаб не утверждает, что за его концами ничего нет. Подписи обрезанных хвостов и отдельный расчёт интервала позволяют проверять события далеко за пределами рисунка. Все выводы о реальных данных остаются условными на выбранную нормальную модель.