Распределение Стьюдента

Нормальная величина с неопределённым масштабом

Если Z стандартно нормальна, V имеет χ² с ν степенями свободы и они независимы, отношение $T=Z/\sqrt{V/\nu}$ имеет распределение Стьюдента. Маленький случайный знаменатель создаёт большие по модулю значения: хвосты тяжелее нормальных.

Параметр $\nu>0$ — число степеней свободы. Здесь исследуется стандартный t-закон без сдвига и отдельного масштаба. При росте ν он приближается к N(0,1), но при конечном ν это другое семейство. Значение ν не ограничено целыми в математическом определении; вычислительный инструмент задаёт свой явный диапазон.

Симметрия не гарантирует среднего

Плотность симметрична относительно нуля, поэтому медиана равна нулю и P(T ≤ 0) = 1/2 при любом допустимом ν. Среднее существует и равно 0 только при ν > 1.

При 0 < ν ≤ 1 положительная и отрицательная части интеграла первого момента расходятся. Их нельзя «взаимно сократить»: среднее не определено. Для 1 < ν ≤ 2 среднее уже существует, но второй момент расходится, поэтому дисперсия бесконечна. При ν > 2 дисперсия конечна и равна ν/(ν − 2).

Инструмент различает неопределённый момент, бесконечность и конечное число. Когда среднего нет, дисперсия, определяемая относительно него, также помечается как неопределённая.

Три примера

1. Закон Коши. При ν = 1 плотность равна 1/(π(1 + x²)), CDF — 1/2 + arctan(x)/π. Поэтому P(T ≤ 1) = 3/4. Медиана равна 0, но среднего нет: симметричная запись графика не отменяет расходимости интеграла.

2. Граница дисперсии. При ν = 2 среднее равно 0, а дисперсия бесконечна. При ν = 3 дисперсия уже конечна: 3/(3 − 2) = 3. Любая конечная сгенерированная выборка может иметь обычную конечную дисперсию в обоих случаях; это не доказывает существование теоретического момента.

3. Двусторонний порог. Для ν = 5 квантиль уровня 0,975 приблизительно равен 2,570582. Между −2,570582 и 2,570582 находится около 95 % массы. Нормальный порог 1,959964 дал бы для этого закона меньшую центральную вероятность из-за более тяжёлых хвостов.

Зачем t-закон нужен статистике

Для независимой нормальной выборки с неизвестной дисперсией статистика $(\bar X-\mu)/(S/\sqrt n)$ имеет t-закон с n − 1 степенями свободы. Здесь S — исправленное выборочное стандартное отклонение. Число n − 1 берётся из конкретного вывода, а не из названия распределения.

Если исходные данные не нормальны, точное конечновыборочное утверждение может не работать. Большая выборка иногда позволяет асимптотическое обоснование, но тяжёлые хвосты, зависимость и выбросы требуют отдельного анализа.

Как экспериментировать честно

Сравните ν = 1, 2, 5, 30 по CDF и правому хвосту. При ν = 1 запустите несколько больших выборок с разными seed: средние способны сильно различаться. Нельзя обещать им сходимость к нулю по закону больших чисел, условие конечного первого абсолютного момента здесь нарушено.

Графическое окно не содержит весь носитель. Очень редкие большие наблюдения могут находиться далеко справа или слева, оставаясь в CSV и в эмпирических характеристиках. Таблица критических значений NIST округляет значения; численный исследователь использует более точную CDF, поэтому последние цифры могут отличаться.