Распределение Фишера–Снедекора

Отношение двух случайных масштабов

Пусть U и V — независимые хи-квадрат величины с d₁ и d₂ степенями свободы. Разделим каждую на её степени свободы и возьмём отношение. Полученная неотрицательная величина имеет F-распределение Фишера–Снедекора.

Два параметра строго положительны. Первый относится к числителю, второй — к знаменателю. Перестановка параметров в общем случае меняет закон; напротив, обратная величина 1/F имеет закон с переставленными параметрами. Это полезная проверка расчёта хвостов.

Носитель и форма

F принимает значения на положительной полуоси; значение в нуле рассматривается как граничный предел плотности. При d₁ < 2 плотность неограниченна у нуля, при d₁ = 2 равна 1 справа, при d₁ > 2 стремится к нулю.

Правая часть может иметь тяжёлый хвост: слишком маленький знаменатель V создаёт большое отношение. При этом малая вероятность больших значений способна разрушить существование моментов, хотя CDF по-прежнему корректна и стремится к единице.

CDF удобно связывать с бета-законом: если $Y=d_1F/(d_2+d_1F)$, то Y имеет Beta(d₁/2,d₂/2). Следовательно, для x ≥ 0 функция распределения F равна $I_{d_1x/(d_2+d_1x)}(d_1/2,d_2/2)$. В далёком правом хвосте численный алгоритм использует симметричную форму, чтобы не потерять малую вероятность.

Три примера

1. Два и два. При d₁ = d₂ = 2 плотность равна 1/(1 + x)², а CDF — x/(1 + x). Поэтому P(F ≤ 3) = 3/4. Среднее при этом бесконечно: конечные квантили и корректная CDF не гарантируют конечного интеграла первого момента.

2. Конечные характеристики. При d₁ = 5 и d₂ = 10 среднее равно 10/8 = 1,25. Дисперсия равна 2 · 10² · (5 + 10 − 2)/(5 · 8² · 6) = 65/48 ≈ 1,354167. Отношение имеет среднее не 1, хотя оба нормированных хи-квадрат компонента по отдельности имеют среднее 1.

3. Квадрат Стьюдента. Если T имеет стандартный t-закон с ν = 5, то T² имеет F(1,5). Событие T² ≤ 4 эквивалентно −2 ≤ T ≤ 2. По симметрии его вероятность равна 2F_T(2) − 1; это позволяет независимо связать два исследователя, не подменяя один хвост двусторонним событием.

Какие моменты существуют

Среднее конечно при d₂ > 2. При d₂ ≤ 2 неотрицательный интеграл среднего расходится к +∞; это отличается от неопределённого среднего симметричного закона Коши. Конечная дисперсия требует d₂ > 4. Если 2 < d₂ ≤ 4, она бесконечна; если конечного среднего нет, инструмент не вычисляет дисперсию через недопустимое вычитание.

Наблюдаемое отношение дисперсий нормальных независимых выборок при подходящей нулевой гипотезе связано с F-законом. Но здесь нужен вывод статистики и правильные степени свободы, обычно объёмы выборок минус один. Одно похожее отношение чисел не приобретает F-закон автоматически.

Практика в исследователе

Зафиксируйте d₁ и меняйте d₂ через значения 2 и 4. Обратите внимание: плотность и вероятности меняются плавно, но статус моментов меняется принципиально. Сгенерируйте выборку и проверьте, что редкие большие значения не исчезают за пределами окна и доступны в CSV.

Для сравнения с другим законом используйте CDF, где вертикальная ось всегда означает вероятность. Сравнивать высоту непрерывной плотности с дискретной массой без пояснения единиц нельзя.