Лаборатория знанийРаспределения
Все распределения
Библиотека распределений · Теория и эксперимент

Бета-распределение

Модель долей на [0,1], два параметра формы, граничные особенности и сравнение концентрации.

Параметры модели

Бета

Непрерывное

Носитель [0,1]. α и β — параметры формы, не интенсивность и не масштаб.

f(x)=xα−1(1−x)β−1B(α,β)f(x)=\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}

Пределы полей — вычислительные ограничения исследователя, а не область существования математического закона. Носитель: [0; 1].

Форма распределения

Бета: плотность f(x). Окно от 0 до 1. Числовая таблица расположена ниже.00,6881281,3762562,0643842,75251200,250,50,751f(x) · плотностьx · значение

Высота кривой — плотность, не вероятность точки. Вероятность интервала равна площади под кривой; плотность может быть больше 1.

За пределами окна: слева 0 %, справа 0 %. Ось ограничена окном, но CDF, интервалы и генератор используют весь носитель. По умолчанию окно берётся по квантилям 0,005 и 0,995; для конечного непрерывного носителя — весь носитель. Дискретный график ограничен 200 значениями.

Числовая таблица графика (241 точек)
xf(x)
00
0,0041670,12293
0,0083330,24177
0,01250,356599
0,0166670,467491
0,0208330,574522
0,0250,677766
0,0291670,777297
0,0333330,873186
0,03750,965507
0,0416671,05433
0,0458331,139724
0,051,221759
0,0541671,300504
0,0583331,376027
0,06251,448393
0,0666671,517669
0,0708331,583921
0,0751,647212
0,0791671,707606
0,0833331,765167
0,08751,819956
0,0916671,872034
0,0958331,921462
0,11,9683
0,1041672,012607
0,1083332,05444
0,11252,093858
0,1166672,130917
0,1208332,165673
0,1252,198181
0,1291672,228496
0,1333332,256672
0,13752,282761
0,1416672,306815
0,1458332,328888
0,152,349028
0,1541672,367287
0,1583332,383714
0,16252,398357
0,1666672,411265
0,1708332,422486
0,1752,432065
0,1791672,440048
0,1833332,446482
0,18752,45141
0,1916672,454877
0,1958332,456926
0,22,4576
0,2041672,45694
0,2083332,454988
0,21252,451785
0,2166672,447371
0,2208332,441785
0,2252,435065
0,2291672,427251
0,2333332,418379
0,23752,408487
0,2416672,39761
0,2458332,385785
0,252,373047
0,2541672,359429
0,2583332,344967
0,26252,329693
0,2666672,31364
0,2708332,296839
0,2752,279324
0,2791672,261123
0,2833332,242269
0,28752,222791
0,2916672,202717
0,2958332,182078
0,32,1609
0,3041672,139212
0,3083332,11704
0,31252,094412
0,3166672,071353
0,3208332,047888
0,3252,024043
0,3291671,999842
0,3333331,975309
0,33751,950467
0,3416671,925339
0,3458331,899948
0,351,874316
0,3541671,848463
0,3583331,822411
0,36251,796181
0,3666671,769791
0,3708331,743263
0,3751,716614
0,3791671,689863
0,3833331,663029
0,38751,636128
0,3916671,609179
0,3958331,582197
0,41,5552
0,4041671,528203
0,4083331,501221
0,41251,474269
0,4166671,447362
0,4208331,420514
0,4251,393739
0,4291671,36705
0,4333331,34046
0,43751,313982
0,4416671,287627
0,4458331,261407
0,451,235334
0,4541671,209419
0,4583331,183671
0,46251,158102
0,4666671,132721
0,4708331,107537
0,4751,08256
0,4791671,057798
0,4833331,03326
0,48751,008954
0,4916670,984887
0,4958330,961067
0,50,9375
0,5041670,914194
0,5083330,891154
0,51250,868388
0,5166670,845899
0,5208330,823695
0,5250,80178
0,5291670,780158
0,5333330,758835
0,53750,737814
0,5416670,717099
0,5458330,696694
0,550,676603
0,5541670,656828
0,5583330,637372
0,56250,618238
0,5666670,599428
0,5708330,580944
0,5750,562788
0,5791670,544961
0,5833330,527464
0,58750,510299
0,5916670,493467
0,5958330,476967
0,60,4608
0,6041670,444967
0,6083330,429467
0,61250,414299
0,6166670,399464
0,6208330,384961
0,6250,370789
0,6291670,356946
0,6333330,343431
0,63750,330243
0,6416670,31738
0,6458330,30484
0,650,292622
0,6541670,280722
0,6583330,26914
0,66250,257871
0,6666670,246914
0,6708330,236265
0,6750,225922
0,6791670,215882
0,6833330,20614
0,68750,196695
0,6916670,187543
0,6958330,178679
0,70,1701
0,7041670,161802
0,7083330,153782
0,71250,146035
0,7166670,138557
0,7208330,131344
0,7250,124391
0,7291670,117695
0,7333330,111249
0,73750,105051
0,7416670,099095
0,7458330,093376
0,750,087891
0,7541670,082633
0,7583330,077598
0,76250,072781
0,7666670,068177
0,7708330,06378
0,7750,059587
0,7791670,055592
0,7833330,051789
0,78750,048173
0,7916670,04474
0,7958330,041484
0,80,0384
0,8041670,035482
0,8083330,032726
0,81250,030127
0,8166670,027678
0,8208330,025375
0,8250,023213
0,8291670,021186
0,8333330,01929
0,83750,017519
0,8416670,015869
0,8458330,014334
0,850,012909
0,8541670,01159
0,8583330,010372
0,86250,009249
0,8666670,008217
0,8708330,007272
0,8750,006409
0,8791670,005623
0,8833330,004909
0,88750,004265
0,8916670,003684
0,8958330,003164
0,90,0027
0,9041670,002288
0,9083330,001924
0,91250,001605
0,9166670,001326
0,9208330,001085
0,9250,000878
0,9291670,000702
0,9333330,000553
0,93750,000429
0,9416670,000327
0,9458330,000244
0,950,000178
0,9541670,000126
0,9583338,66549e-5
0,96255,71014e-5
0,9666673,58025e-5
0,9708332,10772e-5
0,9751,14258e-5
0,9791675,53367e-6
0,9833332,27623e-6
0,98757,23267e-7
0,9916671,43470e-7
0,9958339,00457e-9
10

Точка и интервал

P(X = 0,26445)
0 %
Плотность f(0,26445)
2,322275
P(X ≤ 0,26445)
50 %
P(X > 0,26445)
50 %
P(0 ≤ X ≤ 1)
100 %

Границы интервала включены. Для дискретного закона учитываются только целые точки внутри него; для непрерывного включение концов не меняет вероятность.

Что предсказывает модель

Математическое ожидание E(X)
0,285714
Дисперсия D(X)
0,02551

Ожидание — характеристика распределения, а не обещанный результат одного опыта. Конечная выборка имеет своё среднее даже тогда, когда теоретическое среднее не существует.

CDF и правый хвост вычисляются отдельно, чтобы сохранять малые вероятности. Значения ниже предела чисел двойной точности могут округляться до 0; квантили у границ также ограничены машинной точностью.

От модели к данным

Сгенерировать выборку

До 100 000 наблюдений

Независимые псевдослучайные наблюдения в отдельном рабочем потоке. Один seed и те же параметры воспроизводят тот же ряд. Это учебный, не криптографический генератор.

Выборка ещё не создана.

Перед чтением

Что вы разберёте в этой статье

Модель долей на [0,1], два параметра формы, граничные особенности и сравнение концентрации.

Простыми словами

Распределение — полный закон случайной величины: какие значения она принимает и с какими вероятностями. Параметры распределения имеют конкретный смысл и не являются произвольными буквами.

Основные понятия
  • бета
  • доли
  • форма
  • ограниченный носитель
Как читать формулы

Под каждой формулой дана расшифровка величин и условий. Сначала определите, что известно, затем проверьте ограничения и только после этого подставляйте числа.

Как закрепить

После теории решите три задачи: простую, среднюю и сложную. Подсказка, шаги решения и ответ открываются отдельно.

Раздел: Распределения · университетский уровень

Доли и вероятности как случайные величины

Бета-распределение — непрерывный закон на отрезке [0,1]. Он удобен для моделирования долей и других ограниченных величин. Здесь α > 0 и β > 0 — два параметра формы. Буква β не означает интенсивность гамма-закона: смысл определяется конкретной моделью.

Стандартный закон не имеет дополнительных параметров сдвига и масштаба. Если физическая величина лежит на [a,b], сначала можно построить X на [0,1], затем Y = a + (b − a)X. Изменение масштаба требует соответствующего преобразования плотности.

Как параметры меняют форму

При α = β = 1 плотность постоянна и получается U(0,1). При равных параметрах закон симметричен относительно 1/2. Если оба параметра больше 1, плотность имеет внутренний максимум; если оба меньше 1, она растёт к обоим концам, образуя U-образную форму.

При α < 1 плотность неограниченна у 0, при β < 1 — у 1. При α = 1 её правый предел у нуля равен β, а при β = 1 левый предел у единицы равен α. Ни в одном из этих случаев бесконечная плотность не создаёт точечной массы: вероятность каждого конца равна нулю.

Три примера

  1. Равномерный случай. Для Beta(1,1) вероятность [0,2; 0,7] равна длине 0,5. Среднее 1/2, дисперсия 1/12. Это проверочный пример: формулы бета-закона должны согласоваться с равномерной моделью.

  2. Полиномиальная плотность. Для Beta(2,3) нормирующий множитель равен 12, поэтому f(x) = 12x(1 − x)². Интегрирование даёт F(x) = 6x² − 8x³ + 3x⁴. В точке 0,4 получаем F(0,4) = 0,5248, а плотность f(0,4) = 1,728. Разные ответы описывают разные величины.

  3. Одинаковое среднее, разная концентрация. Beta(2,2) и Beta(20,20) обе имеют среднее 1/2. Дисперсии равны соответственно 1/20 = 0,05 и 1/164 ≈ 0,00609756. Второй закон существенно сильнее сосредоточен около середины, хотя его среднее не изменилось.

Среднее и интерпретация

Среднее α/(α + β) определяет центр в смысле первого момента, но само по себе не задаёт форму. Сумма α + β влияет на концентрацию при фиксированном отношении. Нельзя восстановить оба параметра по одному среднему без дополнительного предположения.

Бета-распределение часто используют для неопределённой вероятности успеха в байесовской модели. Это другой уровень случайности: вероятность p моделируется распределением, а исход следующего испытания условно на p остаётся бернуллиевским. Выбранное распределение для p требует обоснования; оно не следует автоматически из того, что величина называется вероятностью.

Исследование и численная точность

Проверьте пары (1,1), (2,3), (0,5; 0,5). Сравните PDF и CDF и рассчитайте вероятность небольшого интервала у границы. У бета-закона нет хвостов вне [0,1], но при маленьких параметрах значительная вероятность сосредоточена в очень узких окрестностях концов.

Машинные числа конечной точности не различают 1 и число, отличающееся от него слишком мало. Поэтому крайние квантили в таких настройках могут округляться к границе. Явное предупреждение о сингулярности и табличные вероятности помогают не принимать гладкость рисунка за математический факт.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

f(x)=xα−1(1−x)β−1B(α,β),0<x<1f(x)=\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)},\quad 0<x<1

Формула словами: Оба параметра формы строго положительны; B нормирует плотность.

Как применять: Определите тип случайной величины, смысл параметров и область допустимых значений перед вычислением вероятности.

EX=αα+β,D(X)=αβ(α+β)2(α+β+1)\mathbb E X=\frac\alpha{\alpha+\beta},\quad D(X)=\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}

Формула словами: Среднее и дисперсия стандартного бета-закона.

Как применять: Определите тип случайной величины, смысл параметров и область допустимых значений перед вычислением вероятности.

F(x)=Ix(α,β),B(α,β)=Γ(α)Γ(β)Γ(α+β)F(x)=I_x(\alpha,\beta),\quad B(\alpha,\beta)=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}

Формула словами: CDF — регуляризованная неполная бета-функция.

Как применять: Определите тип случайной величины, смысл параметров и область допустимых значений перед вычислением вероятности.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Описательная статистика

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Простой

Для Beta(2,3) найдите среднее.

Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.

Средний

Beta(1,1) совпадает с U(0,1). Найдите P(0,25 ≤ X ≤ 0,75).

Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.

Сложный

Для Beta(2,2) найдите дисперсию.

Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.

Закрепите прочитанное коротким тестом

Три уровня сложности, без подсказок и ответов до завершения.

Пройти тест по статье

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.