Лаборатория знанийРаспределения
Все распределения
Библиотека распределений · Теория и эксперимент

Равномерное непрерывное распределение

Вероятность как доля длины: плотность, CDF, моменты и равномерные преобразования.

Параметры модели

Равномерное непрерывное

Непрерывное

a < b. В отдельной точке вероятность равна нулю, хотя плотность положительна.

f(x)=1b−a,a≤x≤bf(x)=\frac1{b-a},\quad a\le x\le b

Пределы полей — вычислительные ограничения исследователя, а не область существования математического закона. Носитель: [0; 10].

Форма распределения

Равномерное непрерывное: плотность f(x). Окно от 0 до 10. Числовая таблица расположена ниже.00,0280,0560,0840,11202,557,510f(x) · плотностьx · значение

Высота кривой — плотность, не вероятность точки. Вероятность интервала равна площади под кривой; плотность может быть больше 1.

За пределами окна: слева 0 %, справа 0 %. Ось ограничена окном, но CDF, интервалы и генератор используют весь носитель. По умолчанию окно берётся по квантилям 0,005 и 0,995; для конечного непрерывного носителя — весь носитель. Дискретный график ограничен 200 значениями.

Числовая таблица графика (241 точек)
xf(x)
00,1
0,0416670,1
0,0833330,1
0,1250,1
0,1666670,1
0,2083330,1
0,250,1
0,2916670,1
0,3333330,1
0,3750,1
0,4166670,1
0,4583330,1
0,50,1
0,5416670,1
0,5833330,1
0,6250,1
0,6666670,1
0,7083330,1
0,750,1
0,7916670,1
0,8333330,1
0,8750,1
0,9166670,1
0,9583330,1
10,1
1,0416670,1
1,0833330,1
1,1250,1
1,1666670,1
1,2083330,1
1,250,1
1,2916670,1
1,3333330,1
1,3750,1
1,4166670,1
1,4583330,1
1,50,1
1,5416670,1
1,5833330,1
1,6250,1
1,6666670,1
1,7083330,1
1,750,1
1,7916670,1
1,8333330,1
1,8750,1
1,9166670,1
1,9583330,1
20,1
2,0416670,1
2,0833330,1
2,1250,1
2,1666670,1
2,2083330,1
2,250,1
2,2916670,1
2,3333330,1
2,3750,1
2,4166670,1
2,4583330,1
2,50,1
2,5416670,1
2,5833330,1
2,6250,1
2,6666670,1
2,7083330,1
2,750,1
2,7916670,1
2,8333330,1
2,8750,1
2,9166670,1
2,9583330,1
30,1
3,0416670,1
3,0833330,1
3,1250,1
3,1666670,1
3,2083330,1
3,250,1
3,2916670,1
3,3333330,1
3,3750,1
3,4166670,1
3,4583330,1
3,50,1
3,5416670,1
3,5833330,1
3,6250,1
3,6666670,1
3,7083330,1
3,750,1
3,7916670,1
3,8333330,1
3,8750,1
3,9166670,1
3,9583330,1
40,1
4,0416670,1
4,0833330,1
4,1250,1
4,1666670,1
4,2083330,1
4,250,1
4,2916670,1
4,3333330,1
4,3750,1
4,4166670,1
4,4583330,1
4,50,1
4,5416670,1
4,5833330,1
4,6250,1
4,6666670,1
4,7083330,1
4,750,1
4,7916670,1
4,8333330,1
4,8750,1
4,9166670,1
4,9583330,1
50,1
5,0416670,1
5,0833330,1
5,1250,1
5,1666670,1
5,2083330,1
5,250,1
5,2916670,1
5,3333330,1
5,3750,1
5,4166670,1
5,4583330,1
5,50,1
5,5416670,1
5,5833330,1
5,6250,1
5,6666670,1
5,7083330,1
5,750,1
5,7916670,1
5,8333330,1
5,8750,1
5,9166670,1
5,9583330,1
60,1
6,0416670,1
6,0833330,1
6,1250,1
6,1666670,1
6,2083330,1
6,250,1
6,2916670,1
6,3333330,1
6,3750,1
6,4166670,1
6,4583330,1
6,50,1
6,5416670,1
6,5833330,1
6,6250,1
6,6666670,1
6,7083330,1
6,750,1
6,7916670,1
6,8333330,1
6,8750,1
6,9166670,1
6,9583330,1
70,1
7,0416670,1
7,0833330,1
7,1250,1
7,1666670,1
7,2083330,1
7,250,1
7,2916670,1
7,3333330,1
7,3750,1
7,4166670,1
7,4583330,1
7,50,1
7,5416670,1
7,5833330,1
7,6250,1
7,6666670,1
7,7083330,1
7,750,1
7,7916670,1
7,8333330,1
7,8750,1
7,9166670,1
7,9583330,1
80,1
8,0416670,1
8,0833330,1
8,1250,1
8,1666670,1
8,2083330,1
8,250,1
8,2916670,1
8,3333330,1
8,3750,1
8,4166670,1
8,4583330,1
8,50,1
8,5416670,1
8,5833330,1
8,6250,1
8,6666670,1
8,7083330,1
8,750,1
8,7916670,1
8,8333330,1
8,8750,1
8,9166670,1
8,9583330,1
90,1
9,0416670,1
9,0833330,1
9,1250,1
9,1666670,1
9,2083330,1
9,250,1
9,2916670,1
9,3333330,1
9,3750,1
9,4166670,1
9,4583330,1
9,50,1
9,5416670,1
9,5833330,1
9,6250,1
9,6666670,1
9,7083330,1
9,750,1
9,7916670,1
9,8333330,1
9,8750,1
9,9166670,1
9,9583330,1
100,1

Точка и интервал

P(X = 5)
0 %
Плотность f(5)
0,1
P(X ≤ 5)
50 %
P(X > 5)
50 %
P(0 ≤ X ≤ 10)
100 %

Границы интервала включены. Для дискретного закона учитываются только целые точки внутри него; для непрерывного включение концов не меняет вероятность.

Что предсказывает модель

Математическое ожидание E(X)
5
Дисперсия D(X)
8,333333

Ожидание — характеристика распределения, а не обещанный результат одного опыта. Конечная выборка имеет своё среднее даже тогда, когда теоретическое среднее не существует.

CDF и правый хвост вычисляются отдельно, чтобы сохранять малые вероятности. Значения ниже предела чисел двойной точности могут округляться до 0; квантили у границ также ограничены машинной точностью.

От модели к данным

Сгенерировать выборку

До 100 000 наблюдений

Независимые псевдослучайные наблюдения в отдельном рабочем потоке. Один seed и те же параметры воспроизводят тот же ряд. Это учебный, не криптографический генератор.

Выборка ещё не создана.

Перед чтением

Что вы разберёте в этой статье

Вероятность как доля длины: плотность, CDF, моменты и равномерные преобразования.

Простыми словами

Распределение — полный закон случайной величины: какие значения она принимает и с какими вероятностями. Параметры распределения имеют конкретный смысл и не являются произвольными буквами.

Основные понятия
  • равномерное непрерывное
  • длина
  • плотность
Как читать формулы

Под каждой формулой дана расшифровка величин и условий. Сначала определите, что известно, затем проверьте ограничения и только после этого подставляйте числа.

Как закрепить

После теории решите три задачи: простую, среднюю и сложную. Подсказка, шаги решения и ответ открываются отдельно.

Раздел: Распределения · университетский уровень

Не точки, а длины

Непрерывная равномерная модель на [a,b] означает, что вероятность попасть в подынтервал пропорциональна его длине. Конечные границы удовлетворяют a < b. Если два подынтервала одной длины целиком лежат в [a,b], их вероятности одинаковы.

Здесь невозможно присвоить каждой точке одну и ту же положительную вероятность: точек бесконечно много. Для отдельного значения P(X=x)=0P(X=x)=0. Положительную вероятность имеют интервалы; плотность 1/(b−a)1/(b-a) задаёт вероятность на единицу длины.

Как вычислять вероятность

Для подынтервала [c,d] внутри носителя вероятность равна (d−c)/(b−a)(d-c)/(b-a). Если интервал выходит за носитель, сначала пересеките его с [a,b]. Пустое пересечение даёт ноль. Включение или исключение концов не меняет результат, поскольку у отдельных точек нет массы.

CDF сначала постоянна и равна 0, затем линейно растёт от a до b, затем равна 1. Квантиль уровня q находится непосредственно: a+q(b−a)a+q(b-a). Это даёт и способ генерации: из равномерного U на [0,1] получаем X = a + (b − a)U.

Три примера

  1. Ожидание автобуса по условной модели. Пусть момент прихода пассажира равномерен между двумя отправлениями, а интервал отправлений ровно 10 минут. Тогда время ожидания можно моделировать U(0,10). Шанс ждать от 2 до 5 минут равен 3/10 = 0,3. Это модель прихода пассажира, не универсальный закон реальных автобусов.

  2. Плотность больше единицы. Для U(0,0,2) плотность равна 5. Это не вероятность 500 %: на интервале [0,0,1] площадь равна 5 · 0,1 = 0,5. В точке 0,1 вероятность всё равно ноль.

  3. Носитель и пересечение. X равномерна на [2,6]. Для события 0 ≤ X ≤ 3 в носителе остаётся [2,3], поэтому вероятность 1/4. Среднее равно 4, дисперсия 16/12 = 4/3. Квантиль 0,75 равен 2 + 0,75 · 4 = 5.

Чего не означает равномерность

Среднее середины интервала следует из симметрии модели, а не из того, что наблюдения обязаны идти попарно. Выборочное среднее будет случайным. И равномерность по одной шкале обычно исчезает после нелинейного преобразования: если X равномерна на [0,1], то P(X2≤y)=yP(X^2\le y)=\sqrt y для y между 0 и 1, а не y.

Не путайте этот закон с равномерным выбором целого. На целых от 1 до 6 вероятность точки 4 равна 1/6; на непрерывном [1,6] она нулевая. Даже дисперсии разные: 35/12 и 25/12 соответственно.

Работа с исследователем

Выберите сначала [0,10], затем [0,0,2]. PDF поменяет высоту, но полная площадь останется единицей. На CDF полная высота всегда 1. Сгенерируйте ряд и сравните частоты попадания в равные интервалы; таблица показывает теоретическую вероятность каждого столбика отдельно от его наблюдаемой частоты. Псевдослучайный алгоритм вычисляется в конечной машинной точности и не выдаёт буквально все вещественные точки.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

f(x)=1b−a(a≤x≤b)f(x)=\frac1{b-a}\quad(a\le x\le b)

Формула словами: Вне [a,b] плотность 0; конечные a < b.

Как применять: Определите тип случайной величины, смысл параметров и область допустимых значений перед вычислением вероятности.

F(x)=x−ab−a(a≤x≤b)F(x)=\frac{x-a}{b-a}\quad(a\le x\le b)

Формула словами: До a функция равна 0, после b равна 1.

Как применять: Определите тип случайной величины, смысл параметров и область допустимых значений перед вычислением вероятности.

EX=a+b2,D(X)=(b−a)212\mathbb E X=\frac{a+b}{2},\quad D(X)=\frac{(b-a)^2}{12}

Формула словами: Среднее и дисперсия непрерывного равномерного закона.

Как применять: Определите тип случайной величины, смысл параметров и область допустимых значений перед вычислением вероятности.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Описательная статистика

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Простой

X ~ U(0,10). Найдите P(2 ≤ X ≤ 5).

Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.

Средний

X ~ U(2,6). Найдите квантиль уровня 0,75.

Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.

Сложный

X ~ U(0,1), Y = X². Найдите P(Y ≤ 0,25).

Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.

Закрепите прочитанное коротким тестом

Три уровня сложности, без подсказок и ответов до завершения.

Пройти тест по статье

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.