Гамма-распределение

Положительная величина с управляемой формой

Гамма-распределение задаётся формой α > 0 и масштабом θ > 0. В проекте используется именно пара форма — масштаб. Другая распространённая пара — форма α и интенсивность β = 1/θ. Перепутать масштаб и интенсивность значит неверно растянуть ось.

Носитель — неотрицательная полуось, вероятность любой отдельной точки нулевая. Гамма-функция нормирует плотность; для положительного целого m выполняется $\Gamma(m)=(m-1)!$. Параметр α не обязан быть целым.

Связь с ожиданием событий

Если α = m — положительное целое и времена между событиями независимы и экспоненциальны с общей интенсивностью 1/θ, то сумма m ожиданий имеет Gamma(m,θ). Это частный случай, называемый распределением Эрланга. При α = 1 получаем экспоненциальный закон.

Для нецелого α определение через плотность остаётся корректным, но буквальное число суммируемых ожиданий уже не равно дробному α. Гибкая параметризация полезна и вне модели потока, если её согласованность с данными проверена.

Поведение у границы

При α > 1 плотность стремится к нулю у нуля; при α = 1 её правый предел равен 1/θ. При 0 < α < 1 плотность неограниченно растёт у нуля, но интеграл по малому интервалу конечен. Это интегрируемая особенность, а не бесконечная вероятность точки.

Исследователь явно пишет +∞ на такой границе и не подменяет её искусственным высоким столбиком. Кривая рисуется по конечным внутренним точкам; точный расчёт вероятности интервала остаётся доступным через CDF.

Три примера

1. Экспоненциальный частный случай. Пусть α = 1, θ = 2 минуты. Среднее ожидание равно 2 минуты, интенсивность 1/2 в минуту. Вероятность ждать больше 4 минут равна exp(−4/2) = exp(−2) ≈ 0,135335.

2. До третьего события. При α = 3, θ = 2 имеем E(X) = 6 и D(X) = 12. Для X ≤ 2 стандартизованная граница x/θ = 1. Эрланговская CDF даёт 1 − exp(−1)(1 + 1 + 1/2) ≈ 0,0803014. Малый шанс отражает требование трёх событий за короткое время.

3. Сменили единицы. Время X в минутах имеет Gamma(3,2). В секундах Y = 60X имеет ту же форму 3 и масштаб 120. Среднее становится 360 секунд, дисперсия 12 · 60² = 43 200 секунд². Умножается масштаб, но не форма.

Моменты и чтение параметров

Среднее равно αθ, дисперсия αθ². Следовательно, отношение стандартного отклонения к среднему равно $1/\sqrt\alpha$: форма управляет относительным разбросом. Большая форма при том же среднем требует меньшего масштаба, а не простого увеличения α без изменения θ.

CDF выражается регуляризованной неполной гамма-функцией P(α,x/θ), а не самой Γ(α). В численном ядре используются сходящийся ряд и непрерывная дробь по определениям DLMF; малый хвост вычисляется с подходящей стороны.

Сравните α = 0,5, 1 и 3 при фиксированном θ, затем сгенерируйте выборки. При маленькой форме много наблюдений окажется возле нуля, но редкие большие значения сильно влияют на среднее. Ограниченное графическое окно не является дополнительным усечением закона.