Распределение хи-квадрат

Квадраты убирают знак

Возьмём ν независимых стандартных нормальных величин и сложим их квадраты. Результат имеет распределение хи-квадрат с ν степенями свободы. Для этой конструкции ν — положительное целое. Плотность позволяет расширить семейство на любые вещественные ν > 0.

Стандартность важна: если нормальные величины имеют ненулевые средние или другой разброс, сумма их квадратов в общем случае не имеет указанного стандартного закона. Также важна независимость; совместная зависимость меняет распределение суммы.

Связь с гамма-законом

Хи-квадрат с ν степенями свободы — Gamma(ν/2,2) в соглашении «форма, масштаб». Отсюда сразу следуют E(X) = ν и D(X) = 2ν, а CDF выражается неполной гамма-функцией.

Носитель неотрицателен. При ν < 2 плотность растёт к бесконечности у нуля, при ν = 2 её значение справа равно 1/2, при ν > 2 она стремится к нулю. Увеличение ν смещает массу вправо и уменьшает относительную асимметрию.

Три примера

1. Два квадрата. При ν = 2 получаем экспоненциальный закон с интенсивностью 1/2. Поэтому P(X ≤ 2) = 1 − exp(−1) ≈ 0,632121. Среднее равно 2, дисперсия 4, а не 2.

2. Один квадрат. Пусть X = Z² и Z ~ N(0,1). Событие X ≤ 1 равносильно −1 ≤ Z ≤ 1. Его вероятность около 0,682689. Здесь нельзя брать только P(Z ≤ 1): отрицательные значения с модулем больше 1 тоже дают большой квадрат.

3. Сумма двух независимых величин. Если U имеет χ² с 3 степенями свободы, V — χ² с 5, и они независимы, то U + V имеет χ² с 8. Среднее суммы равно 8, дисперсия 16. Независимость нужна для сложения гамма-законов и дисперсий, а не только для удобства записи.

Статистическое применение требует условий

Для независимой нормальной выборки объёма n величина $(n-1)S^2/\sigma^2$ имеет хи-квадрат закон с n − 1 степенями свободы, где S² — исправленная выборочная дисперсия, а σ² — теоретическая дисперсия. Потеря одной степени свободы связана с оценкой среднего. При ненормальных данных этот точный результат в общем случае не сохраняется.

В критериях согласия встречаются другие статистики и другие правила подсчёта степеней свободы. Нельзя подставить «число наблюдений» как ν без вывода или формулировки конкретного критерия. В этой странице исследуется само семейство распределений; выводы о гипотезах требуют отдельного материала и проверки предпосылок.

Исследуйте форму и хвост

Сравните ν = 1, 2, 10. При малом ν видна сильная правосторонняя асимметрия и возможная особенность у нуля. При большем ν относительный разброс, равный корню из 2/ν, уменьшается.

График всегда ограничен справа, но положительный хвост продолжается до бесконечности. Для редкого события используйте P(X > x), а не оценку площади «на глаз». Генератор создаёт полный закон через гамма-представление, в том числе для нецелого ν, а таблица выборки сохраняет редкие большие значения.