Производящие функции вероятностей и моментов
Коэффициенты, производные и условия существования — два близких, но разных инструмента.
Перед чтением
Что вы разберёте в этой статье
Коэффициенты, производные и условия существования — два близких, но разных инструмента.
Преобразование заменяет случайную величину новой функцией от неё. Возможные значения и вероятности нужно переносить аккуратно: разные исходные значения иногда дают один новый результат.
- Производящие функции вероятностей и моментов
- expectation-integral
- powers-and-logarithms
Под каждой формулой дана расшифровка величин и условий. Сначала определите, что известно, затем проверьте ограничения и только после этого подставляйте числа.
После теории решите три задачи: простую, среднюю и сложную. Подсказка, шаги решения и ответ открываются отдельно.
Раздел: Преобразования · университетский уровень
Две разные функции
Производящая функция вероятностей, PGF, кодирует массы неотрицательной целочисленной величины коэффициентами степенного ряда. Производящая функция моментов, MGF, использует экспоненту и применима к более общим величинам, но может расходиться. Характеристическая функция в отличие от MGF существует всегда.
PGF и извлечение информации
Для |s|≤1 ряд PGF абсолютно сходится. Значение при 1 равно 1, а коэффициент при s в степени k — вероятность X=k. Производная слева при 1 даёт E X, возможно бесконечное. Вторая производная соответствует факториальному моменту E[X(X−1)], поэтому для обычного второго момента нужно добавить E X.
MGF и условия
Если MGF конечна в открытой окрестности нуля, она однозначно определяет закон и её производные в нуле дают моменты. Недостаточно заметить M(0)=1: это верно всегда и не гарантирует существования M(t) при положительных или отрицательных t. У тяжёлых хвостов нужной окрестности может не быть.
Набросок применения
Для независимой суммы PGF и MGF перемножаются в общей области существования. У суммы n независимых Бернулли PGF равна (1−p+ps) в степени n. Раскрытие бинома сразу даёт биномиальные вероятности. У пуассоновского закона PGF равна exp(λ(s−1)), что делает сложение параметров прозрачным.
При переходе к моментам сначала проверьте сходимость, затем дифференцируйте. Формальный ряд с написанными символами ожиданий ещё не является доказательством существования аналитической функции.
Три примера
- Для X, равной 0 или 1 с вероятностями 0,6 и 0,4, PGF равна 0,6+0,4s. Её производная при 1 равна среднему 0,4.
- PGF двух независимых честных Бернулли равна (1+s)²/4. Коэффициент при s равен 1/2 — вероятность одного успеха.
- Для экспоненциального закона с интенсивностью 2 MGF равна 2/(2−t) только при t<2; подстановка t=3 в рациональное выражение не даёт MGF.
Формула, смысл и ограничения
Главные формулы с расшифровкой
Формула словами: PGF относится к неотрицательным целым X; MGF конечна не для всех законов и аргументов. Для стандартных теорем MGF нужна окрестность t=0.
Как применять: Найдите прообразы каждого нового значения и сложите вероятности всех исходных случаев, которые к нему приводят.
От простого к сложному
Проверьте себя
Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.
G(s)=0,2+0,5s+0,3s². Найдите P(X=2).
Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.
Для той же PGF найдите E X.
Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.
G(s)=0,2+0,5s+0,3s². Найдите Var(X).
Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.
Источники и соглашения
Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.