Пуассоновский процесс
Счётчик событий с независимыми приращениями и экспоненциальными ожиданиями.
Перед чтением
Что вы разберёте в этой статье
Счётчик событий с независимыми приращениями и экспоненциальными ожиданиями.
Случайный процесс — это случайная величина, меняющаяся со временем или номером шага. Нас интересуют не только отдельные значения, но и зависимость между разными моментами.
- Пуассоновский процесс
- stochastic-processes
- independent-variables
Под каждой формулой дана расшифровка величин и условий. Сначала определите, что известно, затем проверьте ограничения и только после этого подставляйте числа.
После теории решите три задачи: простую, среднюю и сложную. Подсказка, шаги решения и ответ открываются отдельно.
Раздел: Случайные процессы · университетский уровень
События и время
Пуассоновский процесс описывает случайные моменты событий и число событий к каждому времени. Его параметр λ — интенсивность, то есть среднее число событий на единицу времени. У распределения счётчика за интервал длины t параметр уже λt; путать эти два числа нельзя.
Определение модели
N(0)=0, траектории целочисленные неубывающие с единичными скачками, правосторонне непрерывные. Приращения на непересекающихся интервалах независимы и имеют пуассоновский закон с параметром, равным интенсивности, умноженной на длину интервала. Это одновременно задаёт стационарность приращений, но сам N(t) не стационарен: E N(t)=λt.
Ожидания между событиями
Время до первого события больше t ровно тогда, когда за (0,t] не произошло ни одного события. Нулевая пуассоновская масса равна exp(−λt), поэтому ожидание экспоненциально с интенсивностью λ. Последовательные межприходные интервалы независимы и имеют тот же закон. Сумма k таких интервалов имеет гамма-закон с формой k и масштабом 1/λ.
Как моделировать и проверять
Генерируйте независимые положительные экспоненциальные интервалы, накапливайте их до выбранного горизонта и считайте только события внутри него. Тогда одновременно получаются траектория счётчика и времена ожидания. Выбор одной пуассоновской массы даёт только конечное число, но не всю траекторию.
Реальные поступления с сезонностью, пакетами и взаимным влиянием могут нарушать модель. После длительного молчания однородный пуассоновский процесс не обязан «компенсировать отставание»: память ожидания отсутствует. При λ=0 получается отдельный вырожденный процесс без событий; экспоненциальная формула с конечным средним ожидания тогда не применяется.
Три примера
- При λ=2 событиям в час за 3 часа среднее число равно 6 и дисперсия тоже 6.
- Вероятность не увидеть событий за полчаса при λ=2 равна exp(−1), примерно 0,367879.
- При λ=4 в час средний интервал между событиями 1/4 часа. Среднее время до третьего события 3/4 часа.
Формула, смысл и ограничения
Главные формулы с расшифровкой
Формула словами: Однородный пуассоновский процесс интенсивности λ>0: приращения на непересекающихся интервалах независимы.
Как применять: Укажите состояние, время, правило перехода и начальное условие; затем отделите один шаг от поведения длинной траектории.
От формулы к наблюдению
Попробуйте самостоятельно
Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.
От простого к сложному
Проверьте себя
Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.
Интенсивность 3 события в час. Найдите E N(2).
Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.
Интенсивность 5 событий в час. Найдите среднее время ожидания первого события в часах.
Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.
При λ=2 найдите Cov(N(1),N(3)).
Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.
Источники и соглашения
Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.